第一フリードマン方程式

任意の原点から共動半径$r_0$にある共動試験銀河を固定すると、その物理的距離は$R(t)=a(t)r_0$、物理的速度は$\dot R = \dot a\, r_0$である。ニュートンの殻定理により、それが感じる重力は半径$R$内に含まれる質量$M$のみに由来し、宇宙が膨張しても共動半径$r_0$の共動球を横切る共動物質はないため、(圧力のない物質については)$M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$は時間に対して一定である。質量$m$の試験銀河を射影体として扱うと、その全力学的エネルギー$\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$は保存される。

$M$を代入すると:$\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$となり、これは$\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$に簡単化される。両辺を$\tfrac12 m a^2 r_0^2$で割ると:$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$となる。

右辺は選んだ任意の半径$r_0$に依存してはならない(この方程式はすべての共動観測者に対して成り立たねばならず、$a(t)$自体は$r_0$に依存しない)ため、$\dfrac{2E}{mr_0^2}$は試験銀河の軌道の定数であり、固定された共動座標構造にのみ依存しうる——この定数を$\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$で定義すると、$H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$が得られる。別の熱力学的議論(宇宙定数を一定のエネルギー密度$\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$をもつ流体として扱い、同じ式に代入する)により$\Lambda c^2/3$の項が復元され、まさに$H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$が得られる——そして驚くべきことに、アインシュタインの場の方程式からの完全な一般相対論的計算もこれと同一の方程式を導き、その際$k$は単なる積分定数ではなく空間曲率の実際の符号として正しく同定される。