フリードマン方程式と相対論的宇宙論

完全な導出はフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量をアインシュタインの場の方程式に代入するものだが、驚くべきことにニュートン的な議論(ミルンとマクリー、1934年)が($\Lambda=0$として)まったく同じ方程式を再現する:共動する物質からなる膨張球面上の試験銀河を、その内部に含まれるすべての物体の重力場の中にある通常の射影体として扱い、エネルギー保存を適用する。一様な球の外側での重力は、その全質量が中心にあるかのように振る舞う(ニュートンの殻定理)ため、内部に含まれる質量だけが重要となる——これは一般相対性理論において、一様な宇宙のある点で局所的に含まれる質量エネルギーのみが時空を曲げるという性質と対応している。

任意の原点から共動半径$r_0$にある共動試験銀河を固定すると、その物理的距離は$R(t)=a(t)r_0$、物理的速度は$\dot R = \dot a\, r_0$である。ニュートンの殻定理により、それが感じる重力は半径$R$内に含まれる質量$M$のみに由来し、宇宙が膨張しても共動半径$r_0$の共動球を横切る共動物質はないため、(圧力のない物質については)$M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$は時間に対して一定である。質量$m$の試験銀河を射影体として扱うと、その全力学的エネルギー$\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$は保存される。

$M$を代入すると:$\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$となり、これは$\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$に簡単化される。両辺を$\tfrac12 m a^2 r_0^2$で割ると:$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$となる。

右辺は選んだ任意の半径$r_0$に依存してはならない(この方程式はすべての共動観測者に対して成り立たねばならず、$a(t)$自体は$r_0$に依存しない)ため、$\dfrac{2E}{mr_0^2}$は試験銀河の軌道の定数であり、固定された共動座標構造にのみ依存しうる——この定数を$\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$で定義すると、$H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$が得られる。別の熱力学的議論(宇宙定数を一定のエネルギー密度$\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$をもつ流体として扱い、同じ式に代入する)により$\Lambda c^2/3$の項が復元され、まさに$H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$が得られる——そして驚くべきことに、アインシュタインの場の方程式からの完全な一般相対論的計算もこれと同一の方程式を導き、その際$k$は単なる積分定数ではなく空間曲率の実際の符号として正しく同定される。

ニュートン重力とは異なり、一般相対性理論では圧力そのものもエネルギー密度とともに重力源となる——この微妙な効果は$\rho$のみを含む第一フリードマン方程式には現れない。加速度方程式はこれを明らかにする:通常の物質や放射は正の圧力をもち、$+3p/c^2$の項を通じて常に膨張を減速させる一方、十分に負の圧力$p<-\rho c^2/3$をもつ何かは符号を反転させ$\ddot a>0$、すなわち宇宙の加速膨張をもたらす——これはまさにここで$\Lambda$でモデル化されているダークエネルギーが行うことである。

第一フリードマン方程式を$\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$の形から出発し、両辺を$t$で微分する:$2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$。

各項を$2a\dot a$で割る($\dot a\neq0$のとき有効):$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

次に流体方程式$\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$を$\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$と整理して$\dot\rho$を消去する。代入すると:$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

これはまさに$\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$であり、主張の通りである。流体方程式自体は、膨張する共動体積に適用された熱力学第一法則$d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$にほかならないことに注意しよう:共動する一片の内部のエネルギーが変化するのは、その体積が増加する際に圧力が仕事をするからにほかならない。