第二フリードマン方程式(加速度方程式)

第一フリードマン方程式を$\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$の形から出発し、両辺を$t$で微分する:$2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$。

各項を$2a\dot a$で割る($\dot a\neq0$のとき有効):$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

次に流体方程式$\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$を$\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$と整理して$\dot\rho$を消去する。代入すると:$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

これはまさに$\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$であり、主張の通りである。流体方程式自体は、膨張する共動体積に適用された熱力学第一法則$d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$にほかならないことに注意しよう:共動する一片の内部のエネルギーが変化するのは、その体積が増加する際に圧力が仕事をするからにほかならない。