円周の基本群

ステップ1 — 被覆写像を設定する。$p: \mathbb{R} \to S^1$ を $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ とする。これは連続な全射であり、$S^1$ の各点は均等被覆近傍を持つ($p$ による小さな弧の原像は $\mathbb{R}$ 内の互いに素な開区間の和集合であり、各区間はその弧に同相に写る)。基点を $1 = p(0) \in S^1$ に固定する。

ステップ2 — 道の持ち上げ。$\gamma(0)=\gamma(1)=1$ を満たす任意のループ $\gamma: [0,1] \to S^1$ に対し、$p \circ \tilde\gamma = \gamma$ かつ $\tilde\gamma(0) = 0$ を満たす連続な持ち上げ $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$ が一意に存在する($[0,1]$ を、$\gamma$ が1つの均等被覆近傍に収まる有限個の小区間で覆い、一片ずつ持ち上げ、その都度直前の終点から続く $p^{-1}$ の枝を選ぶことで構成する)。$\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ と定義する($p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ より $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$ が強制されるので整数である)。

ステップ3 — ホモトピー不変性。$\gamma \simeq_p \gamma'$ がホモトピー $H$ によるとき、ホモトピー持ち上げ性質(道の持ち上げと同じ方法、一帯ずつで証明される)により、$\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$ を満たす連続な持ち上げ $\tilde H$ が得られ、$\tilde H(0,t)=0$ がすべての $t$ で成り立つ(定数基点ループを持ち上げているので定数)。すると $t \mapsto \tilde H(1,t)$ は $t$ の連続な整数値関数であり(ステップ2と同じ議論により)、したがって定数である。よって $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$。したがって $\deg$ はホモトピー類 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ の上でwell-definedである。

ステップ4 — 準同型性。ループ $\gamma, \delta$ に対し、$\gamma * \delta$ の持ち上げを、まず $\gamma$ を $\deg(\gamma)$ で終わるように持ち上げ、続けて $\delta$ を $\deg(\gamma)$ から始まるように持ち上げる($\delta$ の持ち上げの平行移動であり、$p$ が整数平行移動で不変なので妥当)ことで、$\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$ が示される。よって $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ は群準同型 $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$ である。

ステップ5 — 全単射性。全射性:任意の $n \in \mathbb{Z}$ について $\gamma_n(s) = p(ns)$ は $\deg(\gamma_n)=n$ を満たすループである。単射性:$\deg(\gamma)=0$ ならば、持ち上げ $\tilde\gamma$ は $0$ を基点とする $\mathbb{R}$ 内のループである($\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$ なので)。$\mathbb{R}$ は凸なので直線ホモトピー $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ は端点を固定したまま $\tilde\gamma$ を $0$ での定数道に縮め、$p$ と合成すると $\gamma$ から定数ループへの道ホモトピーが得られるので、$[\gamma]$ は自明である。したがって $\deg$ は全単射準同型、すなわち同型 $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$ である。