ガロア群の根への推移的作用

ステップ1:$f$ が $K$ 上既約で $r_1,r_2\in R\subset L$ がともに根であるから、$\varphi(r_1)=r_2$、$\varphi|_K=\mathrm{id}_K$ を満たす $K$-同型 $\varphi:K(r_1)\to K(r_2)$ が存在する——最小多項式の基本性質である:$r_1\mapsto x\mapsto r_2$ を送る同型により $K(r_1)\cong K[x]/(f)\cong K(r_2)$。

ステップ2:$L$ は $K(r_1)$ 上でも $K(r_2)$ 上でも $f$ の分解体である($L$ は $K$ 上の分解体で $K\subseteq K(r_i)\subseteq L$ だから)。分解体の同型拡張定理により、$\varphi$ は体の同型 $\sigma:L\to L$ に拡張される。

ステップ3:$\sigma|_K=\varphi|_K=\mathrm{id}_K$ なので $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$ であり、$\sigma(r_1)=\varphi(r_1)=r_2$。よって任意の二根 $r_1,r_2$ に対し一方を他方に移す $\sigma$ が常に存在する——これがまさに推移的作用の定義である。