等比級数の定理

ステップ1(部分和を閉じた形で書く)。$S_N$に$r$を掛ける:$S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n$、$rS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n$。引き算するとほとんどの項が相殺し、$S_N-rS_N=a-ar^N$となるので$(1-r)S_N=a(1-r^N)$。

ステップ2(部分和について解く)。$r\neq1$ならば$S_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r}$が得られ、これはすべての$n$について正確で有限な式である——まだ極限はとっていない。

ステップ3(極限をとる)。$|r|<1$ならば$N\to\infty$のとき$r^N\to0$となる(絶対値が$1$未満の底を持つ冪はゼロに縮小する)ので、$S_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}$となり、これはまさに$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$である。

ステップ4(逆:発散)。$|r|\ge1$かつ$r\neq1$ならば、$r^N$は有限の極限に近づかない(振動するか無限に増大する)ので、$S_N$は極限を持たず級数は発散する;$r=1$ならば$S_N$は$Na$に等しく、$a$がゼロでないので無限大に発散する。これですべての場合が尽くされ、'必要十分'であることが証明される。