数列の級数と収束判定法

等比級数はその部分和を閉じた形で書ける唯一の級数であり、それゆえ最も単純な収束判定基準であると同時に、他の多くの判定法(比、根、比較)が較正される基準ともなっている:それらはすべて一般の級数を等比級数と比較することで機能する。

ステップ1(部分和を閉じた形で書く)。$S_N$に$r$を掛ける:$S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n$、$rS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n$。引き算するとほとんどの項が相殺し、$S_N-rS_N=a-ar^N$となるので$(1-r)S_N=a(1-r^N)$。

ステップ2(部分和について解く)。$r\neq1$ならば$S_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r}$が得られ、これはすべての$n$について正確で有限な式である——まだ極限はとっていない。

ステップ3(極限をとる)。$|r|<1$ならば$N\to\infty$のとき$r^N\to0$となる(絶対値が$1$未満の底を持つ冪はゼロに縮小する)ので、$S_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}$となり、これはまさに$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$である。

ステップ4(逆:発散)。$|r|\ge1$かつ$r\neq1$ならば、$r^N$は有限の極限に近づかない(振動するか無限に増大する)ので、$S_N$は極限を持たず級数は発散する;$r=1$ならば$S_N$は$Na$に等しく、$a$がゼロでないので無限大に発散する。これですべての場合が尽くされ、'必要十分'であることが証明される。

多くの級数、例えば$p$級数は閉じた形の部分和を持たないため、直接極限を計算することはできない;しかし項が滑らかな減少関数から来ている場合、離散和と連続積分は互いに密接に対応し、積分は通常はるかに評価や評価しやすい。

ステップ1(各項を積分の帯で挟む)。$f(x)$は減少なので、任意の整数$n\ge1$と$x\in[n,n+1]$に対して$f(n+1)\le f(x)\le f(n)$が成り立つ。この単位区間で積分すると$f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$となる。

ステップ2(不等式を足し合わせる)。右側の不等式を$n=1,\dots,N$について足すと$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$となる;左側の不等式を$n=1,\dots,N-1$について足すと$S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$となる。したがって部分和$S_N$は、共に$[1,N]$のように増大する区間上の2つの積分に挟まれる。

ステップ3(収束が一方向に伝わる)。$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$が収束するならば、$N\to\infty$のとき$\int_1^{N}f(x)\,dx$は上に有界であり、ステップ2により増加列$S_N$は上に有界となる。実数の有界な増加列は常に収束する($\mathbb{R}$の単調収束性の一形態)ので、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$は収束する。

ステップ4(発散が逆方向に伝わる)。逆に$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$が発散する(無限に増大する)ならば、$N\to\infty$のとき$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$となり、ステップ2の最初の不等式により$S_N$は無限大に向かう量で下から押し上げられるので、$S_N$も無限大に発散する。ステップ3と4を組み合わせると、完全な'必要十分'条件が得られる。