陳の定理(1973年)

証明は重み付き篩法による議論である。大きな偶数 $n$ を固定し、各素数 $p\le n$ について $n-p$ の素因数が少ないかどうかを考える。素朴な篩(セルバーグの上界篩)は、$n-p$ が高々2個の素因数を持つ $p\le n$ の個数が小さすぎないことを示せるが、単純な篩だけでは「$n-p$ が素数」であることと「$n-p$ が $3,4,\dots$ 個の素因数を持つ」ことを十分強く区別できず、何も結論できない。

陳の鍵となる道具、重み付き(「switching principle」)篩は、各候補 $p$ に、2つの異なる篩のレベルから構成される重みを割り当てる:$n-p$ がしきい値 $z\approx n^{1/3}$ 未満の素因数を3個以上持つという「悪い」事象に対する上界篩と、$n-p$ が $z$ 未満のすべての素数と互いに素であるような $p\le n$ の総数に対する下界篩である。第二のものから第一のものの適切に重み付けられた倍数を引くと、$n$ が十分大きければ正であることが証明できる組合せ的な和が得られる――これは、$n-p$ がしきい値以上の素因数を高々 $2$ 個しか持たない、すなわち $n-p$ が素数または概素数であるような $p$ が存在することを示す。

「証明可能に正である」ことを成り立たせるには、篩の剰余項から来る双線形形式を評価する必要があり、大きい法に関する等差数列中の素数分布についてのBombieri–Vinogradov型の結果(法を $n^{1/2-\varepsilon}$ 程度まで平均する)を用いる。これが最も深い解析的な入力であり、そのためこの定理は最初からすべての $n$ について成り立つのではなく、$n$ が「十分大きい」ことを必要とする。

この定理が「素数または素数」ではなく「素数または概素数」で止まるのは、篩法がパリティ問題に悩まされるからである:標準的な篩の重みは、その構成上、素因数の個数が偶数である数と奇数である数を区別できず、この種の議論から素数のみへと篩い落とすことは決してできない――概素数が、篩理論が現在到達できる最も鋭い目標なのである。