ゴールドバッハ予想

これは、完全に厳密で無条件の議論によって二元ゴールドバッハの証明に人類が到達した最も近い成果である:片側の「素数」を「素数または概素数」に緩めており、これは篩法が(素数を正確に単離できないにもかかわらず)扱える範囲である。

証明は重み付き篩法による議論である。大きな偶数 $n$ を固定し、各素数 $p\le n$ について $n-p$ の素因数が少ないかどうかを考える。素朴な篩(セルバーグの上界篩)は、$n-p$ が高々2個の素因数を持つ $p\le n$ の個数が小さすぎないことを示せるが、単純な篩だけでは「$n-p$ が素数」であることと「$n-p$ が $3,4,\dots$ 個の素因数を持つ」ことを十分強く区別できず、何も結論できない。

陳の鍵となる道具、重み付き(「switching principle」)篩は、各候補 $p$ に、2つの異なる篩のレベルから構成される重みを割り当てる:$n-p$ がしきい値 $z\approx n^{1/3}$ 未満の素因数を3個以上持つという「悪い」事象に対する上界篩と、$n-p$ が $z$ 未満のすべての素数と互いに素であるような $p\le n$ の総数に対する下界篩である。第二のものから第一のものの適切に重み付けられた倍数を引くと、$n$ が十分大きければ正であることが証明できる組合せ的な和が得られる――これは、$n-p$ がしきい値以上の素因数を高々 $2$ 個しか持たない、すなわち $n-p$ が素数または概素数であるような $p$ が存在することを示す。

「証明可能に正である」ことを成り立たせるには、篩の剰余項から来る双線形形式を評価する必要があり、大きい法に関する等差数列中の素数分布についてのBombieri–Vinogradov型の結果(法を $n^{1/2-\varepsilon}$ 程度まで平均する)を用いる。これが最も深い解析的な入力であり、そのためこの定理は最初からすべての $n$ について成り立つのではなく、$n$ が「十分大きい」ことを必要とする。

この定理が「素数または素数」ではなく「素数または概素数」で止まるのは、篩法がパリティ問題に悩まされるからである:標準的な篩の重みは、その構成上、素因数の個数が偶数である数と奇数である数を区別できず、この種の議論から素数のみへと篩い落とすことは決してできない――概素数が、篩理論が現在到達できる最も鋭い目標なのである。

これは円周法を素数に直接適用した中で最も深い無条件の成功例であり、二元ゴールドバッハ予想を完全な未解決問題から、少なくとも奇数和版は完全に解決済みである問題へと変える。

証明は、この数論の分野で先に概略を示した円周法に正確に従い、フォン・マンゴルト重み付き指数和 $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$ に適用され、表現数は $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$ によって重み付けられる。

メジャーアーク(小さい $q$ を持つ有理数 $a/q$ の周りの短い区間)では、等差数列中の素数に関するSiegel–Walfiszの定理――法 $q$ が $\log n$ の任意の固定べきまで一様に成り立つ――によりそこでの積分を明示的に評価でき、主要項 $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$ が得られる。ここで「特異級数」$\mathfrak S(n)$ は各素数ごとの局所密度の積であり、その素数を法として $n$ が $p_1+p_2+p_3$ として解けるかどうかの頻度を測る。奇数 $n$ に対しては、すべての局所条件が解ける(二元の場合を悩ませるパリティ障害に類する障害はない)ので、$\mathfrak S(n)$ は $0$ から離れて評価され、主要項は真に正でサイズ $n^2$ である。

マイナーアークでは、素数に対するヴィノグラードフの指数和評価――そこで成り立つ非自明な評価 $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$――が、寄与が $o(n^2)$ であり主要項より厳密に小さいことを示すので、メジャーアークからの正の寄与を打ち消すことはできない。両者を合わせると、$n$ が十分大きければ表現数が正であることが得られ、これが1937年のヴィノグラードフの定理である。

2013年のHelfgottによる完成は、上記のすべての段階を単なる「十分大きい」ではなく完全に明示的にした:より鋭いメジャーアークとマイナーアークの評価(特定の高さまでのディリクレ $L$ 関数の零点に関する明示的でコンピュータ検証済みの評価を含む)により、解析的議論が機能する明示的なしきい値と、すでにコンピュータによる直接探索で確認済みの範囲との間のギャップが埋められ、文字通りすべての奇数 $n>5$ に対する無条件の証明が得られた。