三元ゴールドバッハの定理(ヴィノグラードフ、1937年;Helfgott、2013年)

証明は、この数論の分野で先に概略を示した円周法に正確に従い、フォン・マンゴルト重み付き指数和 $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$ に適用され、表現数は $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$ によって重み付けられる。

メジャーアーク(小さい $q$ を持つ有理数 $a/q$ の周りの短い区間)では、等差数列中の素数に関するSiegel–Walfiszの定理――法 $q$ が $\log n$ の任意の固定べきまで一様に成り立つ――によりそこでの積分を明示的に評価でき、主要項 $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$ が得られる。ここで「特異級数」$\mathfrak S(n)$ は各素数ごとの局所密度の積であり、その素数を法として $n$ が $p_1+p_2+p_3$ として解けるかどうかの頻度を測る。奇数 $n$ に対しては、すべての局所条件が解ける(二元の場合を悩ませるパリティ障害に類する障害はない)ので、$\mathfrak S(n)$ は $0$ から離れて評価され、主要項は真に正でサイズ $n^2$ である。

マイナーアークでは、素数に対するヴィノグラードフの指数和評価――そこで成り立つ非自明な評価 $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$――が、寄与が $o(n^2)$ であり主要項より厳密に小さいことを示すので、メジャーアークからの正の寄与を打ち消すことはできない。両者を合わせると、$n$ が十分大きければ表現数が正であることが得られ、これが1937年のヴィノグラードフの定理である。

2013年のHelfgottによる完成は、上記のすべての段階を単なる「十分大きい」ではなく完全に明示的にした:より鋭いメジャーアークとマイナーアークの評価(特定の高さまでのディリクレ $L$ 関数の零点に関する明示的でコンピュータ検証済みの評価を含む)により、解析的議論が機能する明示的なしきい値と、すでにコンピュータによる直接探索で確認済みの範囲との間のギャップが埋められ、文字通りすべての奇数 $n>5$ に対する無条件の証明が得られた。