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定理証明済み

不動点反復法の収束

内容

g:[a,b]→[a,b]g:[a,b]\to[a,b] が連続微分可能で、すべての x∈[a,b]x\in[a,b] に対し ∣g′(x)∣≤L<1|g'(x)| \le L < 1 を満たすとする。このとき gg は [a,b][a,b] 内に唯一の不動点 rr を持ち、任意の開始点 x0∈[a,b]x_0 \in [a,b] に対して反復 xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_n) は rr に収束し ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣|x_n - r| \le L^n |x_0 - r| を満たす。

なぜ正しいのか?

絶対値が1未満の傾きは、gを適用するたびに点同士がより近づくことを意味し、どこから始めても、繰り返しの押し縮めは区間全体をただ1点へと潰さなければならない。

証明の概略

ステップ1(中間値の定理による存在)。h(x)=g(x)−xh(x)=g(x)-x とする。g(a)∈[a,b]g(a)\in[a,b] より g(a)≥ag(a)\ge a すなわち h(a)≥0h(a)\ge0、同様に g(b)≤bg(b)\le b より h(b)≤0h(b)\le0。hh は連続なので、中間値の定理によりある rr が存在して h(r)=0h(r)=0、すなわち g(r)=rg(r)=r となる:不動点が存在する。

ステップ2(平均値の定理による一意性)。r1,r2∈[a,b]r_1,r_2\in[a,b] がともに r1≠r2r_1\ne r_2 なる不動点であるとする。平均値の定理により、両者の間のある cc が存在して g(r1)−g(r2)=g′(c)(r1−r2)g(r_1)-g(r_2) = g'(c)(r_1-r_2); g(r1)=r1g(r_1)=r_1、g(r2)=r2g(r_2)=r_2 なので、これは r1−r2=g′(c)(r1−r2)r_1-r_2 = g'(c)(r_1-r_2) となり、∣r1−r2∣=∣g′(c)∣ ∣r1−r2∣≤L ∣r1−r2∣|r_1-r_2| = |g'(c)|\,|r_1-r_2| \le L\,|r_1-r_2| が成り立つ。L<1L<1 かつ ∣r1−r2∣>0|r_1-r_2|>0 なので、これは矛盾であり、よって r1=r2r_1=r_2。

ステップ3(各ステップでの縮小)。任意の xn∈[a,b]x_n\in[a,b] に対し、g(xn)−g(r)g(x_n)-g(r) に平均値の定理を適用する:xnx_n と rr の間にある cnc_n が存在して g(xn)−g(r)=g′(cn)(xn−r)g(x_n)-g(r) = g'(c_n)(x_n-r)。g(r)=rg(r)=r と xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_n) より左辺は xn+1−rx_{n+1}-r であるから、∣xn+1−r∣=∣g′(cn)∣ ∣xn−r∣≤L ∣xn−r∣|x_{n+1}-r| = |g'(c_n)|\,|x_n-r| \le L\,|x_n-r|。

ステップ4(縮小を繰り返す)。ステップ3を n=0n=0 から繰り返し適用すると ∣x1−r∣≤L∣x0−r∣|x_1-r|\le L|x_0-r|、次に ∣x2−r∣≤L∣x1−r∣≤L2∣x0−r∣|x_2-r|\le L|x_1-r|\le L^2|x_0-r|、そして帰納的に、すべての nn について ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣|x_n - r| \le L^n |x_0 - r| が得られる。0≤L<10\le L<1 なので、右辺は n→∞n\to\infty のとき 00 に近づき、xn→rx_n\to r が証明される。

この定理を使うトピック

方程式の近似解法

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。