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方程式の近似解法 二分法やニュートン法のように、コンピュータが1ステップずつ計算できる根を求める数値解法。
直観 直感:根の近くを拡大する 方程式 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 r r r r r r r r r x 0 , x 1 , x 2 , … x_0, x_1, x_2,\dots x 0 , x 1 , x 2 , … f f f x n x_n x n x n + 1 x_{n+1} x n + 1
割線の刻み幅 h h h x 0 x_0 x 0 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} x 1 = x 0 − f ′ ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) 大学 定義:3つの求根法 定義: 二分法
連続関数 f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f ( a ) f ( b ) < 0 c = a + b 2 c=\dfrac{a+b}{2} c = 2 a + b f ( c ) f(c) f ( c )
∣ x n − r ∣ ≤ b − a 2 n + 1 |x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}} ∣ x n − r ∣ ≤ 2 n + 1 b − a ∣ x n − r ∣ ≤ b − a 2 n + 1 |x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}} ∣ x n − r ∣ ≤ 2 n + 1 b − a n n n x n x_n x n r r r L = b − a L=b-a L = b − a n = 4 n=4 n = 4 L / 32 L/32 L /32
定義: ニュートン法
ニュートン法は x n x_n x n y = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x − x n ) y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n) y = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x − x n ) x n + 1 x_{n+1} x n + 1 x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) f ′ f' f ′
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) 第三の視点は両者を統一する:方程式を、ある関数 g g g x = g ( x ) x=g(x) x = g ( x ) f f f g g g x 0 x_0 x 0 x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1} = g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) g g g
3つの求根法の比較 方法 反復式 収束の位数 必要条件 二分法 c = a + b 2 c=\dfrac{a+b}{2} c = 2 a + b 線形(1 1 1 f f f f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f ( a ) f ( b ) < 0 ニュートン x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) 2次(2 2 2 f f f f ′ ( r ) ≠ 0 f'(r) \ne 0 f ′ ( r ) = 0 x 0 x_0 x 0 r r r 不動点反復法 x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1} = g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) 一般に線形(1 1 1 r r r ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 |g'(x)| \le L < 1 ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1
大学 重要な定理 f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f ( a ) f ( b ) < 0 x n = a n + b n 2 x_n=\dfrac{a_n+b_n}{2} x n = 2 a n + b n [ a , b ] [a,b] [ a , b ] r r r x n → r x_n \to r x n → r n n n ∣ x n − r ∣ ≤ b − a 2 n + 1 |x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}} ∣ x n − r ∣ ≤ 2 n + 1 b − a
なぜ正しいのか? 各ステップは根を縮んでいく箱の中に閉じ込め、常に根を含みながら1点へと縮んでいく箱は、その根そのものへと縮まなければならない。
証明 ステップ1(不変量)。a 0 = a a_0=a a 0 = a b 0 = b b_0=b b 0 = b n n n f ( a n ) f ( b n ) < 0 f(a_n)f(b_n)<0 f ( a n ) f ( b n ) < 0 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] x n = a n + b n 2 x_n=\dfrac{a_n+b_n}{2} x n = 2 a n + b n f ( x n ) f(x_n) f ( x n ) f ( a n ) f(a_n) f ( a n ) a n + 1 = a n , b n + 1 = x n a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=x_n a n + 1 = a n , b n + 1 = x n a n + 1 = x n , b n + 1 = b n a_{n+1}=x_n,\ b_{n+1}=b_n a n + 1 = x n , b n + 1 = b n f ( x n ) = 0 f(x_n)=0 f ( x n ) = 0 x n x_n x n f ( a n + 1 ) f ( b n + 1 ) < 0 f(a_{n+1})f(b_{n+1})<0 f ( a n + 1 ) f ( b n + 1 ) < 0
ステップ2(幅の縮小)。構成により新しい各区間は前の区間のちょうど半分なので、すべての n ≥ 0 n \ge 0 n ≥ 0 b n − a n = b − a 2 n b_n-a_n = \dfrac{b-a}{2^n} b n − a n = 2 n b − a r r r [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] x n x_n x n [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] b − a 2 n \dfrac{b-a}{2^n} 2 n b − a ∣ x n − r ∣ ≤ b − a 2 n |x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^n} ∣ x n − r ∣ ≤ 2 n b − a ∣ x n − r ∣ ≤ b − a 2 n + 1 |x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}} ∣ x n − r ∣ ≤ 2 n + 1 b − a
ステップ3(収束)。n → ∞ n\to\infty n → ∞ b − a 2 n + 1 → 0 \dfrac{b-a}{2^{n+1}} \to 0 2 n + 1 b − a → 0 x n → r x_n \to r x n → r f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
r r r f f f f ′ ( r ) ≠ 0 f'(r) \ne 0 f ′ ( r ) = 0 r r r r r r C = max ∣ f ′ ′ ∣ 2 min ∣ f ′ ∣ C=\dfrac{\max|f''|}{2\min|f'|} C = 2 min ∣ f ′ ∣ max ∣ f ′′ ∣ ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2 |x_{n+1}-r| \le C\,|x_n-r|^2 ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2
なぜ正しいのか? 接線は滑らかな曲線に対して非常に良い近似であるため、その誤差はすでに進んだ距離の2乗に比例し、正しい桁数は次のステップでほぼ倍になる。
証明 ステップ1(現在の推測値のまわりでテイラー展開する)。f f f ξ n \xi_n ξ n x n x_n x n r r r f ( r ) = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( r − x n ) + 1 2 f ′ ′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2 f(r) = f(x_n) + f'(x_n)(r-x_n) + \tfrac12 f''(\xi_n)(r-x_n)^2 f ( r ) = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( r − x n ) + 2 1 f ′′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2
ステップ2(根の条件を代入する)。f ( r ) = 0 f(r)=0 f ( r ) = 0 0 = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( r − x n ) + 1 2 f ′ ′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2 0 = f(x_n) + f'(x_n)(r-x_n) + \tfrac12 f''(\xi_n)(r-x_n)^2 0 = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( r − x n ) + 2 1 f ′′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2 f ′ ( x n ) f'(x_n) f ′ ( x n ) r r r f ′ ( r ) ≠ 0 f'(r) \ne 0 f ′ ( r ) = 0 f ′ f' f ′ r − x n r - x_n r − x n 0 = f ( x n ) f ′ ( x n ) + ( r − x n ) + f ′ ′ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) ( r − x n ) 2 0 = \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} + (r-x_n) + \dfrac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}(r-x_n)^2 0 = f ′ ( x n ) f ( x n ) + ( r − x n ) + 2 f ′ ( x n ) f ′′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2
ステップ3(ニュートンのステップを認識する)。整理すると r − ( x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) ) = − f ′ ′ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) ( r − x n ) 2 r - \left(x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\right) = -\dfrac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}(r-x_n)^2 r − ( x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) ) = − 2 f ′ ( x n ) f ′′ ( ξ n ) ( r − x n ) 2 x n + 1 x_{n+1} x n + 1 e n = x n − r e_n = x_n - r e n = x n − r r − x n + 1 = − f ′ ′ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) e n 2 r - x_{n+1} = -\dfrac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}\,e_n^2 r − x n + 1 = − 2 f ′ ( x n ) f ′′ ( ξ n ) e n 2 e n + 1 = − f ′ ′ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) e n 2 e_{n+1} = -\dfrac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}\,e_n^2 e n + 1 = − 2 f ′ ( x n ) f ′′ ( ξ n ) e n 2
ステップ4(定数を評価する)。絶対値をとり ∣ f ′ ′ ( ξ n ) ∣ |f''(\xi_n)| ∣ f ′′ ( ξ n ) ∣ 1 / ∣ f ′ ( x n ) ∣ 1/|f'(x_n)| 1/∣ f ′ ( x n ) ∣ max ∣ f ′ ′ ∣ \max|f''| max ∣ f ′′ ∣ 1 / min ∣ f ′ ∣ 1/\min|f'| 1/ min ∣ f ′ ∣ C = max ∣ f ′ ′ ∣ 2 min ∣ f ′ ∣ C=\dfrac{\max|f''|}{2\min|f'|} C = 2 min ∣ f ′ ∣ max ∣ f ′′ ∣ ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2 |x_{n+1}-r| \le C\,|x_n-r|^2 ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2 C ∣ x 0 − r ∣ < 1 C\,|x_0-r| < 1 C ∣ x 0 − r ∣ < 1 ∣ x n − r ∣ |x_n - r| ∣ x n − r ∣ 0 0 0 ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2 |x_{n+1}-r| \le C\,|x_n-r|^2 ∣ x n + 1 − r ∣ ≤ C ∣ x n − r ∣ 2
g : [ a , b ] → [ a , b ] g:[a,b]\to[a,b] g : [ a , b ] → [ a , b ] x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 |g'(x)| \le L < 1 ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 g g g [ a , b ] [a,b] [ a , b ] r r r x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \in [a,b] x 0 ∈ [ a , b ] x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1}=g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) r r r ∣ x n − r ∣ ≤ L n ∣ x 0 − r ∣ |x_n - r| \le L^n |x_0 - r| ∣ x n − r ∣ ≤ L n ∣ x 0 − r ∣
なぜ正しいのか? 絶対値が1未満の傾きは、gを適用するたびに点同士がより近づくことを意味し、どこから始めても、繰り返しの押し縮めは区間全体をただ1点へと潰さなければならない。
証明 ステップ1(中間値の定理による存在)。h ( x ) = g ( x ) − x h(x)=g(x)-x h ( x ) = g ( x ) − x g ( a ) ∈ [ a , b ] g(a)\in[a,b] g ( a ) ∈ [ a , b ] g ( a ) ≥ a g(a)\ge a g ( a ) ≥ a h ( a ) ≥ 0 h(a)\ge0 h ( a ) ≥ 0 g ( b ) ≤ b g(b)\le b g ( b ) ≤ b h ( b ) ≤ 0 h(b)\le0 h ( b ) ≤ 0 h h h r r r h ( r ) = 0 h(r)=0 h ( r ) = 0 g ( r ) = r g(r)=r g ( r ) = r
ステップ2(平均値の定理による一意性)。r 1 , r 2 ∈ [ a , b ] r_1,r_2\in[a,b] r 1 , r 2 ∈ [ a , b ] r 1 ≠ r 2 r_1\ne r_2 r 1 = r 2 c c c g ( r 1 ) − g ( r 2 ) = g ′ ( c ) ( r 1 − r 2 ) g(r_1)-g(r_2) = g'(c)(r_1-r_2) g ( r 1 ) − g ( r 2 ) = g ′ ( c ) ( r 1 − r 2 ) g ( r 1 ) = r 1 g(r_1)=r_1 g ( r 1 ) = r 1 g ( r 2 ) = r 2 g(r_2)=r_2 g ( r 2 ) = r 2 r 1 − r 2 = g ′ ( c ) ( r 1 − r 2 ) r_1-r_2 = g'(c)(r_1-r_2) r 1 − r 2 = g ′ ( c ) ( r 1 − r 2 ) ∣ r 1 − r 2 ∣ = ∣ g ′ ( c ) ∣ ∣ r 1 − r 2 ∣ ≤ L ∣ r 1 − r 2 ∣ |r_1-r_2| = |g'(c)|\,|r_1-r_2| \le L\,|r_1-r_2| ∣ r 1 − r 2 ∣ = ∣ g ′ ( c ) ∣ ∣ r 1 − r 2 ∣ ≤ L ∣ r 1 − r 2 ∣ L < 1 L<1 L < 1 ∣ r 1 − r 2 ∣ > 0 |r_1-r_2|>0 ∣ r 1 − r 2 ∣ > 0 r 1 = r 2 r_1=r_2 r 1 = r 2
ステップ3(各ステップでの縮小)。任意の x n ∈ [ a , b ] x_n\in[a,b] x n ∈ [ a , b ] g ( x n ) − g ( r ) g(x_n)-g(r) g ( x n ) − g ( r ) x n x_n x n r r r c n c_n c n g ( x n ) − g ( r ) = g ′ ( c n ) ( x n − r ) g(x_n)-g(r) = g'(c_n)(x_n-r) g ( x n ) − g ( r ) = g ′ ( c n ) ( x n − r ) g ( r ) = r g(r)=r g ( r ) = r x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1}=g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) x n + 1 − r x_{n+1}-r x n + 1 − r ∣ x n + 1 − r ∣ = ∣ g ′ ( c n ) ∣ ∣ x n − r ∣ ≤ L ∣ x n − r ∣ |x_{n+1}-r| = |g'(c_n)|\,|x_n-r| \le L\,|x_n-r| ∣ x n + 1 − r ∣ = ∣ g ′ ( c n ) ∣ ∣ x n − r ∣ ≤ L ∣ x n − r ∣
ステップ4(縮小を繰り返す)。ステップ3を n = 0 n=0 n = 0 ∣ x 1 − r ∣ ≤ L ∣ x 0 − r ∣ |x_1-r|\le L|x_0-r| ∣ x 1 − r ∣ ≤ L ∣ x 0 − r ∣ ∣ x 2 − r ∣ ≤ L ∣ x 1 − r ∣ ≤ L 2 ∣ x 0 − r ∣ |x_2-r|\le L|x_1-r|\le L^2|x_0-r| ∣ x 2 − r ∣ ≤ L ∣ x 1 − r ∣ ≤ L 2 ∣ x 0 − r ∣ n n n ∣ x n − r ∣ ≤ L n ∣ x 0 − r ∣ |x_n - r| \le L^n |x_0 - r| ∣ x n − r ∣ ≤ L n ∣ x 0 − r ∣ 0 ≤ L < 1 0\le L<1 0 ≤ L < 1 n → ∞ n\to\infty n → ∞ 0 0 0 x n → r x_n\to r x n → r
大学 実世界での応用と具体例 求根は、閉じた形の答えを持たない無数の計算の裏に隠れたエンジンである。技術者は構造設計や回路設計における非線形系を解くためにニュートン法を用い、金融では債券価格から未知の金利を逆算したり、オプション価格からインプライド・ボラティリティを求めたりするのに使われ、コンピュータグラフィックスでは光線と陰関数曲面の交点を求めるのに使われる。そして、あらゆる関数電卓は内部でニュートン法の数ステップを実行して 2 \sqrt{2} 2
例: 代数的な解の公式を持たない3次方程式への二分法
ある力学系の平衡位置は x 3 − x − 2 = 0 x^3-x-2=0 x 3 − x − 2 = 0 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] f ( 1 ) = − 2 < 0 f(1)=-2<0 f ( 1 ) = − 2 < 0 f ( 2 ) = 4 > 0 f(2)=4>0 f ( 2 ) = 4 > 0 x 2 x_2 x 2
解答 ステップ1:最初の中点を計算する。x 0 = 1 + 2 2 = 1.5 x_0 = \dfrac{1+2}{2} = 1.5 x 0 = 2 1 + 2 = 1.5 f ( 1.5 ) = 1.5 3 − 1.5 − 2 = − 0.125 < 0 f(1.5) = 1.5^3 - 1.5 - 2 = -0.125 < 0 f ( 1.5 ) = 1. 5 3 − 1.5 − 2 = − 0.125 < 0 [ 1.5 , 2 ] [1.5, 2] [ 1.5 , 2 ] f f f f ( 1.5 ) < 0 f(1.5)<0 f ( 1.5 ) < 0 f ( 2 ) > 0 f(2)>0 f ( 2 ) > 0
ステップ2:2番目の中点を計算する。x 1 = 1.5 + 2 2 = 1.75 x_1 = \dfrac{1.5+2}{2} = 1.75 x 1 = 2 1.5 + 2 = 1.75 f ( 1.75 ) = 1.75 3 − 1.75 − 2 = 1.609375 > 0 f(1.75) = 1.75^3 - 1.75 - 2 = 1.609375 > 0 f ( 1.75 ) = 1.7 5 3 − 1.75 − 2 = 1.609375 > 0 [ 1.5 , 1.75 ] [1.5, 1.75] [ 1.5 , 1.75 ]
ステップ3:x 2 x_2 x 2 x 2 = 1.5 + 1.75 2 = 1.625 x_2 = \dfrac{1.5+1.75}{2} = 1.625 x 2 = 2 1.5 + 1.75 = 1.625
ステップ4:解釈する。わずか2ステップで探索区間は幅 1 1 1 0.25 0.25 0.25 x 2 = 1.625 x_2=1.625 x 2 = 1.625 r ≈ 1.5214 r\approx1.5214 r ≈ 1.5214 0.125 0.125 0.125 ∣ x 2 − r ∣ ≤ 2 − 1 2 3 = 0.125 |x_2-r|\le \dfrac{2-1}{2^{3}}=0.125 ∣ x 2 − r ∣ ≤ 2 3 2 − 1 = 0.125
例: 手計算でニュートン法により平方根を求める
電卓が登場する以前、技術者は次のように平方根を計算していた:5 \sqrt{5} 5 x 0 = 2 x_0=2 x 0 = 2 f ( x ) = x 2 − 5 f(x)=x^2-5 f ( x ) = x 2 − 5 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
解答 ステップ1:反復式を立てる。ここで f ( x ) = x 2 − 5 f(x)=x^2-5 f ( x ) = x 2 − 5 f ′ ( x ) = 2 x f'(x)=2x f ′ ( x ) = 2 x x n + 1 = x n − x n 2 − 5 2 x n x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-5}{2x_n} x n + 1 = x n − 2 x n x n 2 − 5
ステップ2:x 1 x_1 x 1 x 0 = 2 x_0=2 x 0 = 2 x 1 = 2 − 2 2 − 5 2 ⋅ 2 = 2 − − 1 4 = 2.25 x_1 = 2 - \dfrac{2^2-5}{2\cdot2} = 2 - \dfrac{-1}{4} = 2.25 x 1 = 2 − 2 ⋅ 2 2 2 − 5 = 2 − 4 − 1 = 2.25
ステップ3:x 2 x_2 x 2 x 1 = 2.25 x_1=2.25 x 1 = 2.25 x 2 = 2.25 − 2.25 2 − 5 2 ⋅ 2.25 = 2.25 − 0.0625 4.5 ≈ 2.236111 x_2 = 2.25 - \dfrac{2.25^2-5}{2\cdot2.25} = 2.25 - \dfrac{0.0625}{4.5} \approx 2.236111 x 2 = 2.25 − 2 ⋅ 2.25 2.2 5 2 − 5 = 2.25 − 4.5 0.0625 ≈ 2.236111
ステップ4:解釈する。真の値は 5 ≈ 2.236068 \sqrt{5}\approx2.236068 5 ≈ 2.236068 x 2 x_2 x 2 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
よくある誤り. ニュートン法は決して失敗しないわけではない:導関数 f ′ ( x n ) f'(x_n) f ′ ( x n ) x n + 1 x_{n+1} x n + 1 f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 f(x)=x^3-2x+2 f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 0 0 0 1 1 1 歴史的ノート
アイザック・ニュートンは1669年に多項式に対するこの方法の一版を記述したが、それは今日使われている微積分に基づく接線反復ではなく代数的消去であった;ジョゼフ・ラフソンが1690年に現代的な純粋に代数的な漸化式を発表し、ニュートンの手法は後に導関数を用いて再定式化され、この方法に通常の名前『ニュートン・ラフソン法』が与えられた。厳密な収束理論(x 0 x_0 x 0
アイザック・ニュートン
[ a , b ] = [ 0 , 1 ] [a,b]=[0,1] [ a , b ] = [ 0 , 1 ] n = 5 n=5 n = 5 ∣ x 5 − r ∣ |x_5 - r| ∣ x 5 − r ∣
1 64 \dfrac{1}{64} 64 1 1 32 \dfrac{1}{32} 32 1 1 16 \dfrac{1}{16} 16 1 1 6 \dfrac{1}{6} 6 1 ニュートン法の1ステップを正しく表す式はどれか。
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) x_{n+1} = x_n - \dfrac{f'(x_n)}{f(x_n)} x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x n + 1 = x n + f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n + \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n + f ′ ( x n ) f ( x n ) x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1} = x_n - f(x_n)f'(x_n) x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) ある債券トレーダーが利回り y y y P ( y ) = 0 P(y)=0 P ( y ) = 0 y 0 y_0 y 0
P ′ ( y 0 ) P'(y_0) P ′ ( y 0 ) P P P 初期推測 y 0 y_0 y 0 P ′ P' P ′ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1} = g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \in [a,b] x 0 ∈ [ a , b ]
すべての x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x ∈ [ a , b ] ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 |g'(x)| \le L < 1 ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 g g g [ a , b ] [a,b] [ a , b ] すべての x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x ∈ [ a , b ] g ′ ( x ) > 1 g'(x) > 1 g ′ ( x ) > 1 g g g [ a , b ] [a,b] [ a , b ]