ベルトラミの恒等式

極値 $y(x)$ に沿って $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ とおき、連鎖律を用いて $x$ で微分すると $\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$ となる。

$y''$ を含む2つの項はちょうど打ち消し合い、$\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$ が残る。

しかし $y(x)$ は極値であるから、オイラー・ラグランジュ方程式により括弧内の因子は $y$ に沿って恒等的にゼロである。したがって区間全体で $\frac{dH}{dx}=0$ となり、これは $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ が一定であることを意味し、主張が示された。