変分法

これは極小点で通常の導関数をゼロとおくことに対応するが、ここで摂動を加える『方向』は一つの数値ではなく、曲線の許容される変分全体である。あらゆる変分に対して一次変化がゼロになることを要求すると、$L$ の $y$ への直接的な依存と $y'$ への依存との間に、各点でこの方程式が表す釣り合いが強制される。

端点で $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ を満たす任意の滑らかな関数 $\eta(x)$ を固定し、$y$ と同じ端点値を持つ1パラメータ族の競合曲線 $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$ を考える。$\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$ とおくと、$y$ が $J$ の極値を与えると仮定しているので、通常の関数 $\phi$ は $\epsilon=0$ で臨界点を持ち、$\phi'(0)=0$ となる。

積分記号の下で微分すると、$\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$ が得られる。ここで $L$ の偏導関数は $y_\epsilon$ に沿って評価される。$\epsilon=0$ とおくと $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$ となる。

第2項を部分積分すると、$\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$ となる。$\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ より境界項は消え、残るのは $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$ である。

この積分はあらゆる許容される $\eta$ に対してゼロになる。変分法の基本補題——連続関数がすべてのそのような試験関数に対して積分がゼロになるなら、その関数自体が恒等的にゼロでなければならない——により、括弧内の量はすべての $x$ でゼロとなり、これはまさに $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$ である。

これは保存量であり、エネルギー保存則とまったく類似している:$x$ に沿って動いても『規則』である $L$ が変わらないとき、$L$ と $y'$ のある特定の組み合わせが一定に保たれる。これにより、2階のオイラー・ラグランジュ方程式の代わりに1階の方程式が得られ、しばしば直接解くのがずっと容易になる。

極値 $y(x)$ に沿って $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ とおき、連鎖律を用いて $x$ で微分すると $\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$ となる。

$y''$ を含む2つの項はちょうど打ち消し合い、$\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$ が残る。

しかし $y(x)$ は極値であるから、オイラー・ラグランジュ方程式により括弧内の因子は $y$ に沿って恒等的にゼロである。したがって区間全体で $\frac{dH}{dx}=0$ となり、これは $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ が一定であることを意味し、主張が示された。