オイラー・ラグランジュ方程式

端点で $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ を満たす任意の滑らかな関数 $\eta(x)$ を固定し、$y$ と同じ端点値を持つ1パラメータ族の競合曲線 $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$ を考える。$\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$ とおくと、$y$ が $J$ の極値を与えると仮定しているので、通常の関数 $\phi$ は $\epsilon=0$ で臨界点を持ち、$\phi'(0)=0$ となる。

積分記号の下で微分すると、$\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$ が得られる。ここで $L$ の偏導関数は $y_\epsilon$ に沿って評価される。$\epsilon=0$ とおくと $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$ となる。

第2項を部分積分すると、$\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$ となる。$\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ より境界項は消え、残るのは $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$ である。

この積分はあらゆる許容される $\eta$ に対してゼロになる。変分法の基本補題——連続関数がすべてのそのような試験関数に対して積分がゼロになるなら、その関数自体が恒等的にゼロでなければならない——により、括弧内の量はすべての $x$ でゼロとなり、これはまさに $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$ である。