ハーン・バナッハの拡張定理

まず1次元だけ拡張する。$x_0\notin Y$ を選び $Y_1=Y\oplus\mathbb{R}x_0$ とおく。すべての $y\in Y,t\in\mathbb{R}$ に対して $|\varphi(y)+tc|\le M\|y+tx_0\|$ となるように値 $c=\Phi(x_0)$ を選ばねばならない。$t\ne0$ で割り $y/t\to y$ と置き換えると、これはすべての $y\in Y$ に対して $\varphi(y)-M\|y-x_0\|\le c\le M\|y+x_0\|-\varphi(y)$ を満たす $c$ が必要であることに帰着する。$\varphi(y_1)-\varphi(y_2)=\varphi(y_1-y_2)\le M\|y_1-y_2\|\le M\|y_1+x_0\|+M\|y_2-x_0\|$ を用いると、$y_1$ に関する左辺の上限が $y_2$ に関する右辺の下限を決して超えないことが確認でき、したがってその区間内に有効な $c$ が存在する。これにより $Y_1$ 上に同じ上界 $M$ を持つ $\Phi$ が定義される。

次に、ツォルンの補題を用いて $X$ 全体へ拡張する。$Y\subseteq Z\subseteq X$ を満たす部分空間 $Z$ と、$\varphi$ を上界 $M$ で $Z$ へ拡張する $\Psi$ の組 $(Z,\Psi)$ 全体からなる集合を考え、$(Z_1,\Psi_1)\le(Z_2,\Psi_2)$ を $Z_1\subseteq Z_2$ かつ $\Psi_2|_{Z_1}=\Psi_1$ で定める半順序とする。任意の鎖は上界を持つ(部分空間の和集合と、それぞれの定義域上で一致する汎関数を取ればよい)ので、ツォルンの補題により極大元 $(Z^*,\Phi)$ が得られる。

最後に、もし $Z^*\ne X$ ならば、上記の1次元拡張のステップを $Z^*$ と任意の $x_0\in X\setminus Z^*$ に適用すると、真に大きい許容な組が得られ、$(Z^*,\Phi)$ の極大性に矛盾する。ゆえに $Z^*=X$ であり、$\Phi$ は求める、上界を保った $X$ 全体への拡張である。