関数解析学

これは、各ベクトルに数を線形かつ連続的に割り当てるあらゆる方法が、実は「ある固定されたベクトルとの内積を取る」ことに他ならないということを意味する――抽象的な汎関数は、既に知っている最も具体的な汎関数より一般的なものではない。

$\varphi=0$ ならば $y=0$ ととればよい。そうでなければ $N=\ker\varphi=\{x\in H:\varphi(x)=0\}$ とおく。$\varphi$ は連続かつ線形なので、$N$ は $H$ の閉な真部分空間である。$H$ はヒルベルト空間なので、射影定理より直交分解 $H=N\oplus N^{\perp}$ が得られ、$N$ が真部分空間であることから $N^{\perp}$ にはある $z\ne0$ が含まれる。

任意の $x\in H$ に対し、ベクトル $u=\varphi(x)z-\varphi(z)x$ を考える。$\varphi$ を適用すると $\varphi(u)=\varphi(x)\varphi(z)-\varphi(z)\varphi(x)=0$ となるので $u\in N$ である。$z\in N^{\perp}$ より $\langle u,z\rangle=0$、すなわち $\varphi(x)\langle z,z\rangle-\varphi(z)\langle x,z\rangle=0$ が得られる。$\varphi(x)$ について解くと $\varphi(x)=\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}\langle x,z\rangle=\left\langle x,\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z\right\rangle$ となるので、$y=\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z$ が $\varphi$ を表現する。

一意性については、すべての $x$ に対して $\langle x,y_1\rangle=\langle x,y_2\rangle$ ならば、$x=y_1-y_2$ とおくと $\|y_1-y_2\|^2=0$ となり $y_1=y_2$ を得る。ノルムの等式については、コーシー・シュワルツより $|\varphi(x)|=|\langle x,y\rangle|\le\|y\|\|x\|$ なので $\|\varphi\|\le\|y\|$、また $x=y$ を代入すると $\varphi(y)=\|y\|^2$ となるので $\|\varphi\|\ge|\varphi(y)|/\|y\|=\|y\|$。両者を合わせて $\|\varphi\|=\|y\|$ を得る。

これは、小さな部分空間上でのみ定義された線形汎関数――例えば「信号のいくつかのサンプル点での値」しか分からない場合――が、その上界を大きくすることなく常に空間全体へ拡張できることを保証する。部分空間だけで作業せざるを得ない状況に追い込まれることは決してない。

まず1次元だけ拡張する。$x_0\notin Y$ を選び $Y_1=Y\oplus\mathbb{R}x_0$ とおく。すべての $y\in Y,t\in\mathbb{R}$ に対して $|\varphi(y)+tc|\le M\|y+tx_0\|$ となるように値 $c=\Phi(x_0)$ を選ばねばならない。$t\ne0$ で割り $y/t\to y$ と置き換えると、これはすべての $y\in Y$ に対して $\varphi(y)-M\|y-x_0\|\le c\le M\|y+x_0\|-\varphi(y)$ を満たす $c$ が必要であることに帰着する。$\varphi(y_1)-\varphi(y_2)=\varphi(y_1-y_2)\le M\|y_1-y_2\|\le M\|y_1+x_0\|+M\|y_2-x_0\|$ を用いると、$y_1$ に関する左辺の上限が $y_2$ に関する右辺の下限を決して超えないことが確認でき、したがってその区間内に有効な $c$ が存在する。これにより $Y_1$ 上に同じ上界 $M$ を持つ $\Phi$ が定義される。

次に、ツォルンの補題を用いて $X$ 全体へ拡張する。$Y\subseteq Z\subseteq X$ を満たす部分空間 $Z$ と、$\varphi$ を上界 $M$ で $Z$ へ拡張する $\Psi$ の組 $(Z,\Psi)$ 全体からなる集合を考え、$(Z_1,\Psi_1)\le(Z_2,\Psi_2)$ を $Z_1\subseteq Z_2$ かつ $\Psi_2|_{Z_1}=\Psi_1$ で定める半順序とする。任意の鎖は上界を持つ(部分空間の和集合と、それぞれの定義域上で一致する汎関数を取ればよい)ので、ツォルンの補題により極大元 $(Z^*,\Phi)$ が得られる。

最後に、もし $Z^*\ne X$ ならば、上記の1次元拡張のステップを $Z^*$ と任意の $x_0\in X\setminus Z^*$ に適用すると、真に大きい許容な組が得られ、$(Z^*,\Phi)$ の極大性に矛盾する。ゆえに $Z^*=X$ であり、$\Phi$ は求める、上界を保った $X$ 全体への拡張である。