リースの表現定理(ヒルベルト空間の場合)

$\varphi=0$ ならば $y=0$ ととればよい。そうでなければ $N=\ker\varphi=\{x\in H:\varphi(x)=0\}$ とおく。$\varphi$ は連続かつ線形なので、$N$ は $H$ の閉な真部分空間である。$H$ はヒルベルト空間なので、射影定理より直交分解 $H=N\oplus N^{\perp}$ が得られ、$N$ が真部分空間であることから $N^{\perp}$ にはある $z\ne0$ が含まれる。

任意の $x\in H$ に対し、ベクトル $u=\varphi(x)z-\varphi(z)x$ を考える。$\varphi$ を適用すると $\varphi(u)=\varphi(x)\varphi(z)-\varphi(z)\varphi(x)=0$ となるので $u\in N$ である。$z\in N^{\perp}$ より $\langle u,z\rangle=0$、すなわち $\varphi(x)\langle z,z\rangle-\varphi(z)\langle x,z\rangle=0$ が得られる。$\varphi(x)$ について解くと $\varphi(x)=\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}\langle x,z\rangle=\left\langle x,\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z\right\rangle$ となるので、$y=\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z$ が $\varphi$ を表現する。

一意性については、すべての $x$ に対して $\langle x,y_1\rangle=\langle x,y_2\rangle$ ならば、$x=y_1-y_2$ とおくと $\|y_1-y_2\|^2=0$ となり $y_1=y_2$ を得る。ノルムの等式については、コーシー・シュワルツより $|\varphi(x)|=|\langle x,y\rangle|\le\|y\|\|x\|$ なので $\|\varphi\|\le\|y\|$、また $x=y$ を代入すると $\varphi(y)=\|y\|^2$ となるので $\|\varphi\|\ge|\varphi(y)|/\|y\|=\|y\|$。両者を合わせて $\|\varphi\|=\|y\|$ を得る。