発散定理(ガウスの定理)

まず直方体 $B = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]$、$V = B$ の場合を証明する。ここで $\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)$ とする。フビニの定理より $\iiint_B \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dV = \iint \left(F_1(b_1,y,z) - F_1(a_1,y,z)\right) dy\,dz$ であり、$y$ 方向および $z$ 方向の微分項についても同様の等式が成り立つ。

各右辺はまさに $B$ の対をなす面を通る $\mathbf{F}$ の対応する成分の外向き流束であり、各面での外向き法線は座標軸の正または負の方向を向く。三つの座標方向の寄与を足し合わせると $\iiint_B (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ を得る。

一般の立体領域 $V$ については、$V$ を埋める細かい格子状の小直方体で近似する。各小箱に直方体の場合を適用して、すべての小箱について和をとる。隣接する二つの小箱が共有する内部の面では、外向き法線が両側で互いに逆方向を向くため、その共有面を通る対応する流束の寄与は完全に打ち消し合う。

打ち消し合った後に残る流束はまさに外側の境界曲面 $\partial V$ を通るものであり、一方で小箱上の体積積分の和は格子を細かくするにつれて $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV$ に収束するので、$V$ に対する等式が確立される。