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解析学

ベクトル解析

ベクトル場の微分と積分:発散、回転、およびそれらを結びつける積分定理。

直観渦を巻き広がる場:発散と回転の直感

空間の各点における水の流れの速度を思い浮かべてほしい:これはまさにベクトル場 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) であり、各点に付けられた矢印がそこでの流れの向きと速さを表す。F\mathbf{F} についての二つの単純な問いが、電磁気学と流体力学のほぼすべてを支配することになる:流れは源から水が湧き出すように一点から広がっていくのか、それとも渦のようにある軸の周りを回っているのか?前者の傾向は発散 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F} で測られ、各点で流れが生成される(正)か消滅する(負)かの正味の割合を表すスカラー量である。後者の傾向は回転 ∇×F\nabla \times \mathbf{F} で測られ、局所的な回転軸に沿ったベクトルであり、その長さが回転の速さを表す。

鞍点型のスカラーポテンシャル曲面を示す対話型3Dプロットで、発散と回転がともにゼロであるグラディエントベクトル場を説明するために用いる。
鞍点型のポテンシャル φ(x,y)=x2−y2\varphi(x,y) = x^2 - y^2:その勾配場 F=∇φ=(2x,−2y)\mathbf{F} = \nabla \varphi = (2x, -2y) はいたるところで発散が 00、回転も 00 になる、流れが広がりも渦を巻きもせず鞍面の傾斜に沿って向きを変えるだけの特別な「調和的」場合である。

大学厳密な定義:発散、回転、および境界積分定理

定義: ベクトル場の発散

R3\mathbb{R}^3 上の微分可能なベクトル場 F=(F1,F2,F3)\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) に対し、発散 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F} は各点における単位体積あたりの正味の外向き流束を測るスカラー関数である。直感的には、div⁡F(p)>0\operatorname{div}\mathbf{F}(p) > 0 は点 pp の周りの微小球が流れの正味の湧き出し源であることを意味し、div⁡F(p)<0\operatorname{div}\mathbf{F}(p) < 0 は正味の吸い込み口であることを意味する。

∇⋅F=∂F1∂x+∂F2∂y+∂F3∂z\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}

回転 ∇×F\nabla \times \mathbf{F} はその代わりに回転を測る:流れの中のある点に小さな水車を差し込み、その軸を ∇×F(p)\nabla \times \mathbf{F}(p) の方向に合わせると、水車は最も速く回転し、その角速度は ∣∇×F(p)∣|\nabla \times \mathbf{F}(p)| に比例する。いたるところで ∇×F=0\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} となる場は渦なし(単連結な領域上でも定義されていれば保存的)と呼ばれ、これはまさにあるスカラーポテンシャル φ\varphi の勾配 F=∇φ\mathbf{F} = \nabla \varphi として現れる場に他ならない。

∇×F=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y)\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)
ベクトル解析の三つの境界積分定理
定理領域とその境界積分の等式
グリーンの定理平面領域 DD、境界曲線 ∂D\partial D∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
ストークスの定理空間内の曲面 SS、境界曲線 ∂S\partial S∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
発散定理(ガウスの定理)空間内の立体領域 VV、境界曲面 ∂V\partial V∬∂VF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV

大学基本定理:グリーンの定理と発散定理

定理: グリーンの定理

D⊂R2D \subset \mathbb{R}^2 を正の向きを持つ区分的に滑らかな境界曲線 ∂D\partial D を持つ領域とし、P(x,y)P(x,y)、Q(x,y)Q(x,y) は DD を含む開領域上で連続な偏導関数を持つとする。このとき ∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA が成り立つ。

なぜ正しいのか?

右辺は DD の各点にわたって局所的な「循環密度」∂Q∂x−∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}(2次元の回転)を足し合わせる。隣接する微小セルの内部循環は共有する辺に沿って打ち消し合い、外側の境界 ∂D\partial D に沿った循環だけが残る。

証明

まず長方形 R=[a,b]×[c,d]R = [a,b]\times[c,d]、D=RD = R の場合に証明する。フビニの定理より ∬R∂Q∂x dA=∫cd(Q(b,y)−Q(a,y))dy\iint_R \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \int_c^d \left(Q(b,y) - Q(a,y)\right) dy かつ ∬R∂P∂y dA=∫ab(P(x,d)−P(x,c))dx\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = \int_a^b \left(P(x,d) - P(x,c)\right) dx である。

これらはまさに RR の右辺と左辺に沿った Q dyQ\,dy の線積分、および上辺と下辺に沿った P dxP\,dx の線積分であるから、∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA=∮∂R(P dx+Q dy)\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy) となり、長方形の場合の定理と一致する。

一般の領域 DD については、DD を覆う細かい格子状の小長方形で近似する。各小片に長方形の場合を適用して、すべての小片について和をとる。隣接する二つの小片が共有する内部の辺は、それぞれの境界によって互いに逆向きに一度ずつたどられるため、その共有辺に沿った二つの線積分の寄与は完全に打ち消し合う。

打ち消し合った後に残るのはまさに外側の境界 ∂D\partial D に沿った線積分であり、一方で小長方形上の二重積分の和は格子を細かくするにつれて ∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA に収束するので、DD に対する等式が証明される。

定理: 発散定理(ガウスの定理)

V⊂R3V \subset \mathbb{R}^3 を外向きの区分的に滑らかな境界曲面 ∂V\partial V を持つ立体領域とし、F\mathbf{F} は VV を含む開領域上で連続な偏導関数を持つとする。このとき ∬∂VF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV が成り立つ。

なぜ正しいのか?

グリーンの定理と同様に、発散の体積積分は VV 内のすべての微小な箱にわたって局所的な「単位体積あたりの正味の流出」を足し合わせる。隣接する箱が共有する面を通る流出は打ち消し合い、外側の境界 ∂V\partial V を通る流束だけが残る。

証明

まず直方体 B=[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3]B = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]、V=BV = B の場合を証明する。ここで F=(F1,F2,F3)\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) とする。フビニの定理より ∭B∂F1∂x dV=∬(F1(b1,y,z)−F1(a1,y,z))dy dz\iiint_B \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dV = \iint \left(F_1(b_1,y,z) - F_1(a_1,y,z)\right) dy\,dz であり、yy 方向および zz 方向の微分項についても同様の等式が成り立つ。

各右辺はまさに BB の対をなす面を通る F\mathbf{F} の対応する成分の外向き流束であり、各面での外向き法線は座標軸の正または負の方向を向く。三つの座標方向の寄与を足し合わせると ∭B(∇⋅F) dV=∬∂BF⋅dS\iiint_B (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} を得る。

一般の立体領域 VV については、VV を埋める細かい格子状の小直方体で近似する。各小箱に直方体の場合を適用して、すべての小箱について和をとる。隣接する二つの小箱が共有する内部の面では、外向き法線が両側で互いに逆方向を向くため、その共有面を通る対応する流束の寄与は完全に打ち消し合う。

打ち消し合った後に残る流束はまさに外側の境界曲面 ∂V\partial V を通るものであり、一方で小箱上の体積積分の和は格子を細かくするにつれて ∭V(∇⋅F) dV\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV に収束するので、VV に対する等式が確立される。

大学実世界での応用と具体例

発散、回転、そして境界積分定理は古典的な場の理論の数学的な背骨である:電磁気学のマクスウェル方程式はすべて ∇⋅E\nabla \cdot \mathbf{E}、∇⋅B\nabla \cdot \mathbf{B}、∇×E\nabla \times \mathbf{E}、∇×B\nabla \times \mathbf{B} で表される。流体力学では発散定理を用いて質量保存の連続の方程式を導き、非圧縮性の流れを ∇⋅F=0\nabla \cdot \mathbf{F} = 0 と同一視する。そして航空宇宙工学では、ストークスの定理を用いて翼型まわりの気流の循環(揚力)を境界層内部の渦度 ∇×F\nabla \times \mathbf{F} と結びつける。

例: 球面上の動径場に対する発散定理の検証

F(x,y,z)=(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z) とし、SS を球 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2(半径 aa、外向き)とし、球体 VV を囲むとする。両辺を直接計算することで発散定理 ∬SF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV を検証せよ。

解答

まず右辺を計算する:∇⋅F=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z=1+1+1=3\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3 で定数である。よって ∭V(∇⋅F) dV=3⋅vol⁡(V)=3⋅43πa3=4πa3\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = 3 \cdot \operatorname{vol}(V) = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3 となる。

次に左辺を直接計算する。球面 SS 上では、位置ベクトル自体が動径方向に外を向き、SS 上で長さ aa を持つため、外向き単位法線は n=1a(x,y,z)\mathbf{n} = \frac{1}{a}(x,y,z) である。よって F⋅n=1a(x2+y2+z2)=a2a=a\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{a}(x^2+y^2+z^2) = \frac{a^2}{a} = a となる。

F⋅n=a\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = a は SS 上で定数なので、流束積分は単にこの定数と表面積の積である:∬SF⋅dS=a⋅area⁡(S)=a⋅4πa2=4πa3\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = a \cdot \operatorname{area}(S) = a \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3 となり、体積積分と正確に一致する。

例: グリーンの定理を用いた面積の計算

CC を反時計回りにたどる単位円 x2+y2=1x^2+y^2=1 とする。P=−yP=-y、Q=xQ=x でグリーンの定理を用いて、単位円板 DD に対する面積公式 area⁡(D)=12∮C(x dy−y dx)\operatorname{area}(D) = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx) を検証せよ。

解答

P=−yP=-y、Q=xQ=x とすると、グリーンの定理より ∮C(−y dx+x dy)=∬D(∂x∂x−∂(−y)∂y)dA=∬D(1−(−1)) dA=2∬DdA=2area⁡(D)\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y}\right) dA = \iint_D (1 - (-1))\,dA = 2\iint_D dA = 2\operatorname{area}(D) となる。

CC を x=cos⁡θx=\cos\theta、y=sin⁡θy=\sin\theta(θ∈[0,2π]\theta \in [0, 2\pi])とパラメータ表示し、dx=−sin⁡θ dθdx = -\sin\theta\,d\theta、dy=cos⁡θ dθdy = \cos\theta\,d\theta として線積分を直接計算する:∮C(−y dx+x dy)=∫02π(sin⁡2θ+cos⁡2θ)dθ=∫02π1 dθ=2π\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \int_0^{2\pi} \left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right) d\theta = \int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi。

単位円板に対して area⁡(D)=π\operatorname{area}(D) = \pi であるから、二重積分側は 2area⁡(D)=2π2\operatorname{area}(D) = 2\pi となり、直接計算した線積分 2π2\pi と正確に一致し、グリーンの定理と面積公式 area⁡(D)=12∮C(x dy−y dx)\operatorname{area}(D) = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx) が確認される。

F(x,y,z)=(x2,y2,z2)\mathbf{F}(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2) の点 (1,1,1)(1,1,1) における発散 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F} を求めよ。

回転場 F(x,y,z)=(y,−x,0)\mathbf{F}(x,y,z) = (y,-x,0) の回転 ∇×F\nabla \times \mathbf{F} を求めよ。

流体の速度場 F\mathbf{F} について ∇⋅F>0\nabla \cdot \mathbf{F} > 0 となる点では、物理的に何が起きているか。

開曲面 SS 上の ∇×F\nabla \times \mathbf{F} の面積分を、その境界曲線 ∂S\partial S をめぐる線積分に結びつける定理はどれか。

参考文献

  1. Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2012). Vector Calculus
  2. H. M. Schey (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus
  3. Tom M. Apostol (1969). Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications