グリーンの定理

まず長方形 $R = [a,b]\times[c,d]$、$D = R$ の場合に証明する。フビニの定理より $\iint_R \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \int_c^d \left(Q(b,y) - Q(a,y)\right) dy$ かつ $\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = \int_a^b \left(P(x,d) - P(x,c)\right) dx$ である。

これらはまさに $R$ の右辺と左辺に沿った $Q\,dy$ の線積分、および上辺と下辺に沿った $P\,dx$ の線積分であるから、$\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy)$ となり、長方形の場合の定理と一致する。

一般の領域 $D$ については、$D$ を覆う細かい格子状の小長方形で近似する。各小片に長方形の場合を適用して、すべての小片について和をとる。隣接する二つの小片が共有する内部の辺は、それぞれの境界によって互いに逆向きに一度ずつたどられるため、その共有辺に沿った二つの線積分の寄与は完全に打ち消し合う。

打ち消し合った後に残るのはまさに外側の境界 $\partial D$ に沿った線積分であり、一方で小長方形上の二重積分の和は格子を細かくするにつれて $\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$ に収束するので、$D$ に対する等式が証明される。