ギバード・サタースウェイトの定理

概略（アローの定理への還元）。 まず単調性の補題：ある選択肢 $a$ があるプロファイルで勝つとし、プロファイルが一部の有権者が自分の順位で $a$ を上げる（他の選択肢の相対順位はそのまま）ことだけで変化したとすると、$a$ は依然として勝たなければならない。そうでなければ、正直な順位が「変更前」のプロファイルである有権者が「変更後」のプロファイルを偽って報告することで $a$ を負けから勝ちへ、またはその逆に押しやることができてしまい、いずれにせよ誰かにとって戦略的操作への強さに矛盾する。

次に、選択関数を用いて各プロファイルに対する派生的な社会的順位を構築する：すべての有権者の投票用紙から $a$ と $b$ 以外の選択肢をすべて削除して二者だけの対決にしたとき、それでも $a$ が勝つならば、派生順位で $a$ を $b$ より上とする。元の選択関数の上への写像であることと戦略的操作への強さ、そして単調性の補題を用いて、この派生順位が社会厚生関数として無制限領域、弱いパレート、無関係な選択肢からの独立性を満たすことを確認できる。

アローの不可能性定理により、選択肢が少なくとも $3$ 個あるので、この派生的な社会的順位は独裁的でなければならない：ある有権者 $i$ の順位が常に派生的な社会的順位と一致する。

最後に、この同じ有権者 $i$ の第一希望が常に元の社会選択関数の勝者であることを確認する：派生順位は $i$ のお気に入りの選択肢を他のすべての選択肢より上に置き、派生順位はペアごとの比較で誰が勝つかを追跡しているので、$i$ のお気に入りはすべてのプロファイルで全体の勝者でなければならない。したがって、元の戦略的操作に強く上への写像である社会選択関数は有権者 $i$ によって独裁される。