社会選択理論

パレートとIIAは控えめに聞こえる——きっと何か賢い、独裁的でないルールが両方を満たしつつ一貫した順位を生み出せるはずだと思うだろう。アローの定理はこの直感が誤りであることを示す：選択肢が $3$ 個以上あるとき、推移性も要求されれば、この2つの条件だけですでに集約の力がすべて単一の有権者に集中してしまう。

概略（決定的有権者による議論）。 3つの選択肢 $a, b, c$ を固定する。あるプロファイルにおいて、すべての有権者が $a$ を自分のリストの一番上か一番下に順位付けし、他の選択肢の順位は任意であるとき、$a$ を「極端」と呼ぶ。弱いパレートとIIAを用いた短い議論——他の選択肢を1つずつ $a$ の脇を通過させ、パレートに違反したり順位が $a$ の位置に依存したりせずにそれを阻止できないことを確認する——により、$a$ がすべての有権者にとって極端であるときは、社会も自身の順位で $a$ を一番上か一番下に置かなければならないことが示される。

すべての有権者が $a$ を一番下に順位付けするプロファイルから始める。弱いパレートにより、社会も $a$ を一番下に順位付ける。次に、固定された順序で有権者を1人ずつ $a$ を一番上に順位付けするように切り替え、各段階で $a$ を極端に保つ。上記の極端性の事実により、各段階で社会の $a$ の順位は依然として一番上か一番下であり、全員が切り替え終わるとパレートにより一番上でなければならない。したがって、その切り替えによって社会の $a$ の順位を一番下から一番上へと反転させる最初の有権者が存在する。これを $n^\ast$ と呼び、$a$ に関する決定的有権者とする。

次に、$n^\ast$ が $a$ についてだけでなく $b$ と $c$ の間でも決定的であることを示す。新しいプロファイルを構築する：$n^\ast$ は $b$、$a$、$c$ をこの順に上位から順位付けし、切り替え順で $n^\ast$ より前の有権者は $a$ を一番上に順位付け（したがって $b, c$ の相対順位は自由に設定できる）、残りの有権者は $a$ を一番下に順位付ける。決定性を定義するのに使った2つのプロファイルとこのプロファイルを比較すると、IIAにより社会は $b$ を $a$ より上（$a$ が一番上側から）、$a$ を $c$ より上（$a$ が一番下側から）に順位付けることになり、推移性により $b$ を $c$ より上に順位付ける——これは他の誰がどう順位付けようと、$n^\ast$ 自身の $b$ 対 $c$ の順位とちょうど一致する。

この議論をすべての選択肢のペアについて繰り返すと、$n^\ast$ の選好が常に社会の選好を決定することが示される：$n^\ast$ は独裁者である。これは非独裁性に矛盾するので、無制限領域、弱いパレート、IIAのすべてを満たしながら独裁的でないルールは存在しない。

順位付き投票制度は戦略的投票に強いとよく宣伝される。ギバード・サタースウェイトの定理はその逆がほぼ避けられないことを示す：あるルールが $3$ 個以上の選択肢から単一の勝者を選び、あらゆるプロファイルについて定義され、すべての選択肢が時に勝つことを許し、独裁制でないならば、ある有権者が自分の選好について嘘をつくことで得をする状況が必ず存在する。

概略（アローの定理への還元）。 まず単調性の補題：ある選択肢 $a$ があるプロファイルで勝つとし、プロファイルが一部の有権者が自分の順位で $a$ を上げる（他の選択肢の相対順位はそのまま）ことだけで変化したとすると、$a$ は依然として勝たなければならない。そうでなければ、正直な順位が「変更前」のプロファイルである有権者が「変更後」のプロファイルを偽って報告することで $a$ を負けから勝ちへ、またはその逆に押しやることができてしまい、いずれにせよ誰かにとって戦略的操作への強さに矛盾する。

次に、選択関数を用いて各プロファイルに対する派生的な社会的順位を構築する：すべての有権者の投票用紙から $a$ と $b$ 以外の選択肢をすべて削除して二者だけの対決にしたとき、それでも $a$ が勝つならば、派生順位で $a$ を $b$ より上とする。元の選択関数の上への写像であることと戦略的操作への強さ、そして単調性の補題を用いて、この派生順位が社会厚生関数として無制限領域、弱いパレート、無関係な選択肢からの独立性を満たすことを確認できる。

アローの不可能性定理により、選択肢が少なくとも $3$ 個あるので、この派生的な社会的順位は独裁的でなければならない：ある有権者 $i$ の順位が常に派生的な社会的順位と一致する。

最後に、この同じ有権者 $i$ の第一希望が常に元の社会選択関数の勝者であることを確認する：派生順位は $i$ のお気に入りの選択肢を他のすべての選択肢より上に置き、派生順位はペアごとの比較で誰が勝つかを追跡しているので、$i$ のお気に入りはすべてのプロファイルで全体の勝者でなければならない。したがって、元の戦略的操作に強く上への写像である社会選択関数は有権者 $i$ によって独裁される。