単調収束定理

$(a_n)$ を単調増加かつ上に有界とする。$\mathbb{R}$ の完備性公理により、集合 $\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\}$ には上限 $L=\sup_n a_n$ が存在する。

$\varepsilon>0$ を固定する。$L$ は最小の上界なので、$L-\varepsilon$ は上界ではない。よって $a_N>L-\varepsilon$ を満たす番号 $N$ が存在する。

$(a_n)$ は単調増加なので、任意の $n>N$ に対し $a_n\ge a_N>L-\varepsilon$。また $L$ は数列全体の上界なので、任意の $n$ で $a_n\le L$。

両者を合わせると、任意の $n>N$ で $L-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon$、すなわち $|a_n-L|<\varepsilon$。$\varepsilon>0$ は任意だったから、ε–N 定義により $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ が成り立つ。$\blacksquare$