Math Labs

11年生

数列の極限

添字が限りなく大きくなるにつれて数列が近づいていく値。

直観数列を無限へ追いかける

数列 an=1na_n=\frac{1}{n} を考える:1, 0.5, 0.333…, 0.25,…1,\ 0.5,\ 0.333\ldots,\ 0.25,\ldots 各項は決して 00 にはならないが、nn が大きくなるにつれて限りなく 00 に近づく。この「永遠に近づき続ける」性質こそ数列の極限が捉えるものであり、無限級数・反復アルゴリズム・複利計算の原動力である。

数列 1/n の離散的な点が、横軸に触れることなく近づいていく図。n は 1 から 25。
数列 an=1na_n=\frac{1}{n} の各項を点で描いた図(横軸は項の番号 nn)。どの項も 00 にはならないが、ある番号から先はすべて高さ ε>0\varepsilon>0 の任意の水平線より下に沈む。n=1,…,25n=1,\dots,25 を表示。

中高厳密な定義

定義: 数列の極限(ε–N 定義)

任意に小さい ε>0\varepsilon>0 に対して、それ以降のすべての項 ana_n が LL と ε\varepsilon 未満しか違わないような番号 NN が存在するとき、lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L であるという。記号で書くと:∀ε>0, ∃N∈N∗: ∀n>N, ∣an−L∣<ε\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

∀ε>0, ∃N∈N∗: ∀n>N, ∣an−L∣<ε\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

ここで ε\varepsilon(イプシロン)は懐疑者が選ぶ任意に小さい許容誤差、NN はそれに応じて我々が選べる「待ち番号」であり、∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon は項 ana_n が帯 (L−ε,L+ε)(L-\varepsilon, L+\varepsilon) の中にあることを意味する。この定義はゲームのようなものである:懐疑者がどれほど小さい ε\varepsilon を選んでも、我々は必ず適切な NN を示せる。

交代数列 (-1)^n/n の点が破線 1/n と -1/n の間に挟まれて 0 に収束する図。n は 1 から 30。
数列 an=(−1)nna_n=\frac{(-1)^n}{n} は符号が交互に変わるが、縮んでいく破線の包絡線 ±1n\pm\frac{1}{n} の内側にとどまる。どんな許容誤差 ε>0\varepsilon>0 に対しても、適切な番号 NN より先の項はすべて極限 00 から ε\varepsilon 以内にある。n=1,…,30n=1,\dots,30 を表示。
S=lim⁡n→∞Sn=u11−qS=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}
初項 1、公比 0.6 の等比級数の部分和が増加して 2.5 付近で平らになる図。n は 1 から 25。
u1=1u_1=1、q=0.6q=0.6 のときの部分和 Sn=u1+u1q+⋯+u1qn−1S_n=u_1+u_1q+\dots+u_1q^{n-1}。点 SnS_n は増加して u11−q=2.5\frac{u_1}{1-q}=2.5 の近くで落ち着く。n=1,…,25n=1,\dots,25 を表示。
実用でよく使う特別な極限
形結果
逆べき乗lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0(k>0k>0 のとき)
等比減衰∣q∣<1|q|<1 のとき lim⁡n→∞qn=0\lim_{n\to\infty} q^n = 0
定数列lim⁡n→∞c=c\lim_{n\to\infty} c = c
多項式的増加k>0k>0 のとき lim⁡n→∞nk=+∞\lim_{n\to\infty} n^k = +\infty

大学二つの柱となる定理

定理: 単調収束定理

(an)(a_n) が単調増加かつ上に有界ならば収束し、a1≤a2≤⋯≤M ⇒ lim⁡n→∞an=sup⁡nana_1\le a_2\le\cdots\le M\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_n a_n(下に有界な単調減少数列でも対称的に成り立つ)。

なぜ正しいのか?

直感的には、上限を決して超えずに登り続ける数列は、その上限のすぐ下に落ち着く以外に行き場がない。

証明

(an)(a_n) を単調増加かつ上に有界とする。R\mathbb{R} の完備性公理により、集合 {an:n∈N∗}\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\} には上限 L=sup⁡nanL=\sup_n a_n が存在する。

ε>0\varepsilon>0 を固定する。LL は最小の上界なので、L−εL-\varepsilon は上界ではない。よって aN>L−εa_N>L-\varepsilon を満たす番号 NN が存在する。

(an)(a_n) は単調増加なので、任意の n>Nn>N に対し an≥aN>L−εa_n\ge a_N>L-\varepsilon。また LL は数列全体の上界なので、任意の nn で an≤La_n\le L。

両者を合わせると、任意の n>Nn>N で L−ε<an≤L<L+εL-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon、すなわち ∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon。ε>0\varepsilon>0 は任意だったから、ε–N 定義により lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L が成り立つ。■\blacksquare

定理: はさみうちの定理

bn≤an≤cn, lim⁡bn=lim⁡cn=L ⇒ lim⁡an=Lb_n\le a_n\le c_n,\ \lim b_n=\lim c_n=L\ \Rightarrow\ \lim a_n=L ならば lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L も成り立つ。

なぜ正しいのか?

数列が同じ極限に収束する二つの数列に挟まれているなら、それ以外に行き場はない。

証明

十分大きな nn について bn≤an≤cnb_n\le a_n\le c_n とし、lim⁡bn=lim⁡cn=L\lim b_n=\lim c_n=L とする。

ε>0\varepsilon>0 を固定する。lim⁡bn=L\lim b_n=L より、ある N1N_1 が存在して n>N1n>N_1 なら L−ε<bn<L+εL-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon。lim⁡cn=L\lim c_n=L より、ある N2N_2 が存在して n>N2n>N_2 なら L−ε<cn<L+εL-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon。

N=max⁡(N1,N2)N=\max(N_1,N_2) とおく。任意の n>Nn>N について、bn≤an≤cnb_n\le a_n\le c_n と上の二つの不等式を組み合わせると L−ε<bn≤an≤cn<L+εL-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon、よって L−ε<an<L+εL-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon、すなわち ∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon。

ε>0\varepsilon>0 は任意だったので、ε–N 定義により lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n=L。■\blacksquare

大学実世界での応用と具体例

数列の極限は、金融(永久年金・分割返済)における等比級数、物理学(バウンドするボールで失われるエネルギー)、計算機科学(ループの収束・不動点反復)、数値解析(電卓以前からある求根アルゴリズム、例えば平方根を求めるバビロニア法)を支えている。

例

高さ h0=2h_0=2 m からボールを落とす。跳ねるたびに直前の高さの q=0.6q=0.6 倍(∣q∣<1|q|<1)まで上がる。無限回跳ねると仮定して、ボールが静止するまでに移動する総距離(落下と上昇)を求めよ。

解答

最初の落下は h0h_0 を寄与する。その後、各バウンド k=1,2,…k=1,2,\ldots は高さ h0qkh_0q^k の「上昇」と同じ高さの「下降」を寄与するので、合計 2h0qk2h_0q^k を加える。

無限回のバウンドの和は等比級数であり、S=lim⁡n→∞Sn=u11−qS=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}(初項 qq)を用いて ∑k=1∞2h0qk=2h0⋅q1−q\sum_{k=1}^{\infty} 2h_0q^k = 2h_0\cdot\frac{q}{1-q} となる。

総距離 =h0+2h0⋅q1−q=h0⋅1−q+2q1−q=h0⋅1+q1−q=h_0+2h_0\cdot\frac{q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1-q+2q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1+q}{1-q}。

h0=2h_0=2、q=0.6q=0.6 を代入すると、総距離 =2⋅1.60.4=2⋅4=8=2\cdot\frac{1.6}{0.4}=2\cdot 4=8 m。ボールは無限回跳ねるにもかかわらず、総移動距離は有限である — これは等比級数の極限の直接の帰結である。

例

u1=1u_1=1 と un+1=12(un+2un)u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)(平方根を求めるバビロニア法/ヘロンの方法)で定義される数列を考える。(un)(u_n) が収束することを示し、その極限を求めよ。

解答

まず有界性:AM–GM 不等式より、任意の un>0u_n>0 に対して un+1=12(un+2un)≥un⋅2un=2u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)\ge\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}、よって n≥2n\ge 2 で un≥2u_n\ge\sqrt{2}。

次に単調性:n≥2n\ge 2 で un2≥2u_n^2\ge 2 より un+1−un=2−un22un≤0u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0。よって (un)(u_n) は(番号 22 以降)単調減少で、下に 2\sqrt{2} で有界。

単調収束定理により (un)(u_n) はある極限 LL に収束する。漸化式の両辺で極限を取ると L=12(L+2L)L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)、すなわち 2L=L+2L2L=L+\frac{2}{L} より L2=2L^2=2、よって L=2L=\sqrt{2}(すべての un>0u_n>0 なので正の根)。

数値的には u1=1, u2=1.5, u3≈1.41667, u4≈1.414216u_1=1,\ u_2=1.5,\ u_3\approx1.41667,\ u_4\approx1.414216 — わずか3ステップで 2\sqrt{2} の小数点以下5桁まで一致しており、この古代の反復法がいかに速く収束するかを示している。

lim⁡n→∞2n+1n+3\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3} を求めよ。

q=0.5q=0.5 のとき、lim⁡n→∞qn\lim_{n\to\infty} q^n の値はいくつか。

初項 u1=3u_1=3、公比 q=13q=\frac{1}{3} の無限等比級数の和はいくつか。

単調性に加えて、数列が有限の極限を持つことを保証する条件はどれか。

参考文献

  1. James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
  2. Judith V. Grabiner (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus