MathLabs

11年生

数列の極限

添字が限りなく大きくなるにつれて数列が近づいていく値。

直観数列を無限へ追いかける

数列 an=1na_n=\frac{1}{n} を考える:1, 0.5, 0.333…, 0.25,…1,\ 0.5,\ 0.333\ldots,\ 0.25,\ldots 各項は決して 00 にはならないが、nn が大きくなるにつれて限りなく 00 に近づく。この「永遠に近づき続ける」性質こそ数列の極限が捉えるものであり、無限級数・反復アルゴリズム・複利計算の原動力である。

nが増えるにつれ、等比数列の部分和の棒グラフが水平な極限線に近づいて安定する図。
等比数列の部分和 Sn=∑k=0n−1u1qkS_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_1q^k。nn を動かして Sn→u11−qS_n\to \frac{u_1}{1-q} となる様子を見る。

中高厳密な定義

定義: 数列の極限(ε–N 定義)

任意に小さい ε>0\varepsilon>0 に対して、それ以降のすべての項 ana_n が LL と ε\varepsilon 未満しか違わないような番号 NN が存在するとき、lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L であるという。記号で書くと:∀ε>0, ∃N∈N∗: ∀n>N, ∣an−L∣<ε\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

∀ε>0, ∃N∈N∗: ∀n>N, ∣an−L∣<ε\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

ここで ε\varepsilon(イプシロン)は懐疑者が選ぶ任意に小さい許容誤差、NN はそれに応じて我々が選べる「待ち番号」であり、∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon は項 ana_n が帯 (L−ε,L+ε)(L-\varepsilon, L+\varepsilon) の中にあることを意味する。この定義はゲームのようなものである:懐疑者がどれほど小さい ε\varepsilon を選んでも、我々は必ず適切な NN を示せる。

S=lim⁡n→∞Sn=u11−qS=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}
実用でよく使う特別な極限
形結果
逆べき乗lim⁡n→∞1nk=0\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0(k>0k>0 のとき)
等比減衰∣q∣<1|q|<1 のとき lim⁡n→∞qn=0\lim_{n\to\infty} q^n = 0
定数列lim⁡n→∞c=c\lim_{n\to\infty} c = c
多項式的増加k>0k>0 のとき lim⁡n→∞nk=+∞\lim_{n\to\infty} n^k = +\infty

大学二つの柱となる定理

定理: 単調収束定理

(an)(a_n) が単調増加かつ上に有界ならば収束し、a1≤a2≤⋯≤M ⇒ lim⁡n→∞an=sup⁡nana_1\le a_2\le\cdots\le M\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_n a_n(下に有界な単調減少数列でも対称的に成り立つ)。

なぜ正しいのか?

直感的には、上限を決して超えずに登り続ける数列は、その上限のすぐ下に落ち着く以外に行き場がない。

証明

(an)(a_n) を単調増加かつ上に有界とする。R\mathbb{R} の完備性公理により、集合 {an:n∈N∗}\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\} には上限 L=sup⁡nanL=\sup_n a_n が存在する。

ε>0\varepsilon>0 を固定する。LL は最小の上界なので、L−εL-\varepsilon は上界ではない。よって aN>L−εa_N>L-\varepsilon を満たす番号 NN が存在する。

(an)(a_n) は単調増加なので、任意の n>Nn>N に対し an≥aN>L−εa_n\ge a_N>L-\varepsilon。また LL は数列全体の上界なので、任意の nn で an≤La_n\le L。

両者を合わせると、任意の n>Nn>N で L−ε<an≤L<L+εL-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon、すなわち ∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon。ε>0\varepsilon>0 は任意だったから、ε–N 定義により lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L が成り立つ。■\blacksquare

定理: はさみうちの定理

bn≤an≤cn, lim⁡bn=lim⁡cn=L ⇒ lim⁡an=Lb_n\le a_n\le c_n,\ \lim b_n=\lim c_n=L\ \Rightarrow\ \lim a_n=L ならば lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L も成り立つ。

なぜ正しいのか?

数列が同じ極限に収束する二つの数列に挟まれているなら、それ以外に行き場はない。

証明

十分大きな nn について bn≤an≤cnb_n\le a_n\le c_n とし、lim⁡bn=lim⁡cn=L\lim b_n=\lim c_n=L とする。

ε>0\varepsilon>0 を固定する。lim⁡bn=L\lim b_n=L より、ある N1N_1 が存在して n>N1n>N_1 なら L−ε<bn<L+εL-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon。lim⁡cn=L\lim c_n=L より、ある N2N_2 が存在して n>N2n>N_2 なら L−ε<cn<L+εL-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon。

N=max⁡(N1,N2)N=\max(N_1,N_2) とおく。任意の n>Nn>N について、bn≤an≤cnb_n\le a_n\le c_n と上の二つの不等式を組み合わせると L−ε<bn≤an≤cn<L+εL-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon、よって L−ε<an<L+εL-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon、すなわち ∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilon。

ε>0\varepsilon>0 は任意だったので、ε–N 定義により lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n=L。■\blacksquare

大学実世界での応用と具体例

数列の極限は、金融(永久年金・分割返済)における等比級数、物理学(バウンドするボールで失われるエネルギー)、計算機科学(ループの収束・不動点反復)、数値解析(電卓以前からある求根アルゴリズム、例えば平方根を求めるバビロニア法)を支えている。

例

高さ h0=2h_0=2 m からボールを落とす。跳ねるたびに直前の高さの q=0.6q=0.6 倍(∣q∣<1|q|<1)まで上がる。無限回跳ねると仮定して、ボールが静止するまでに移動する総距離(落下と上昇)を求めよ。

解答

最初の落下は h0h_0 を寄与する。その後、各バウンド k=1,2,…k=1,2,\ldots は高さ h0qkh_0q^k の「上昇」と同じ高さの「下降」を寄与するので、合計 2h0qk2h_0q^k を加える。

無限回のバウンドの和は等比級数であり、S=lim⁡n→∞Sn=u11−qS=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}(初項 qq)を用いて ∑k=1∞2h0qk=2h0⋅q1−q\sum_{k=1}^{\infty} 2h_0q^k = 2h_0\cdot\frac{q}{1-q} となる。

総距離 =h0+2h0⋅q1−q=h0⋅1−q+2q1−q=h0⋅1+q1−q=h_0+2h_0\cdot\frac{q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1-q+2q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1+q}{1-q}。

h0=2h_0=2、q=0.6q=0.6 を代入すると、総距離 =2⋅1.60.4=2⋅4=8=2\cdot\frac{1.6}{0.4}=2\cdot 4=8 m。ボールは無限回跳ねるにもかかわらず、総移動距離は有限である — これは等比級数の極限の直接の帰結である。

例

u1=1u_1=1 と un+1=12(un+2un)u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)(平方根を求めるバビロニア法/ヘロンの方法)で定義される数列を考える。(un)(u_n) が収束することを示し、その極限を求めよ。

解答

まず有界性:AM–GM 不等式より、任意の un>0u_n>0 に対して un+1=12(un+2un)≥un⋅2un=2u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)\ge\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}、よって n≥2n\ge 2 で un≥2u_n\ge\sqrt{2}。

次に単調性:n≥2n\ge 2 で un2≥2u_n^2\ge 2 より un+1−un=2−un22un≤0u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0。よって (un)(u_n) は(番号 22 以降)単調減少で、下に 2\sqrt{2} で有界。

単調収束定理により (un)(u_n) はある極限 LL に収束する。漸化式の両辺で極限を取ると L=12(L+2L)L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)、すなわち 2L=L+2L2L=L+\frac{2}{L} より L2=2L^2=2、よって L=2L=\sqrt{2}(すべての un>0u_n>0 なので正の根)。

数値的には u1=1, u2=1.5, u3≈1.41667, u4≈1.414216u_1=1,\ u_2=1.5,\ u_3\approx1.41667,\ u_4\approx1.414216 — わずか3ステップで 2\sqrt{2} の小数点以下5桁まで一致しており、この古代の反復法がいかに速く収束するかを示している。

lim⁡n→∞2n+1n+3\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3} を求めよ。

q=0.5q=0.5 のとき、lim⁡n→∞qn\lim_{n\to\infty} q^n の値はいくつか。

初項 u1=3u_1=3、公比 q=13q=\frac{1}{3} の無限等比級数の和はいくつか。

単調性に加えて、数列が有限の極限を持つことを保証する条件はどれか。

参考文献

  1. James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
  2. Judith V. Grabiner (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus