はさみうちの定理

十分大きな $n$ について $b_n\le a_n\le c_n$ とし、$\lim b_n=\lim c_n=L$ とする。

$\varepsilon>0$ を固定する。$\lim b_n=L$ より、ある $N_1$ が存在して $n>N_1$ なら $L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon$。$\lim c_n=L$ より、ある $N_2$ が存在して $n>N_2$ なら $L-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon$。

$N=\max(N_1,N_2)$ とおく。任意の $n>N$ について、$b_n\le a_n\le c_n$ と上の二つの不等式を組み合わせると $L-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon$、よって $L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon$、すなわち $|a_n-L|<\varepsilon$。

$\varepsilon>0$ は任意だったので、ε–N 定義により $\lim_{n\to\infty} a_n=L$。$\blacksquare$