三角関数の基本極限

中心 $O$ の単位円上で $0<x<\frac{\pi}{2}$ とし、$A=(1,0)$、円周上の点 $B=(\cos x,\sin x)$、半直線 $OB$ と $A$ における鉛直な接線との交点 $T=(1,\tan x)$ をとる。

三角形 $\triangle OAB$ は扇形 $OAB$ の真に内側にあり、扇形は直角三角形 $\triangle OAT$ の真に内側にある。3つの面積を比較すると $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$ が得られる。

$(0,\frac{\pi}{2})$ では $\sin x>0$ なので、全体に $\frac{2}{\sin x}$ を掛けると $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。逆数をとると不等号の向きが逆転し $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ となる。

$x\to 0^+$ のとき $\cos x\to 1$ だから、はさみうちの定理より $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$。最後に $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ は偶関数($g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$)なので $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ も成り立ち、合わせて $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ が得られる。$\blacksquare$