関数の極限

左の廊下と右の廊下から同じ扉に向かって歩いて同じ部屋に着けるのは、両方の廊下が本当に同じ場所で出会っているときだけである。

($\Rightarrow$) $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ と仮定する。与えられた $\varepsilon>0$ に対し、ε–δ 定義より $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ を満たす $\delta>0$ が存在する。

特に $x_0<x<x_0+\delta$(右側の条件)または $x_0-\delta<x<x_0$(左側の条件)のとき自動的に $0<|x-x_0|<\delta$ となるので $|f(x)-L|<\varepsilon$。よって左右の片側極限はいずれも $L$ に等しい。

($\Leftarrow$) 逆に、左右の片側極限がともに $L$ に等しいとする。与えられた $\varepsilon>0$ に対し、左極限から $(x_0-\delta_1,x_0)$ で成り立つ $\delta_1>0$ が、右極限から $(x_0,x_0+\delta_2)$ で成り立つ $\delta_2>0$ が得られる。

$\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$ とおけば、$0<|x-x_0|<\delta$ を満たす任意の $x$ は $(x_0-\delta_1,x_0)$ または $(x_0,x_0+\delta_2)$ に属し、いずれの場合も $|f(x)-L|<\varepsilon$ が成り立つ。したがって $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。$\blacksquare$

単位円において、非常に小さい弧長 $x$、縦の弦の長さ $\sin x$、外側の接線線分 $\tan x$ は、角が $0$ に近づくにつれて見分けがつかなくなる。

中心 $O$ の単位円上で $0<x<\frac{\pi}{2}$ とし、$A=(1,0)$、円周上の点 $B=(\cos x,\sin x)$、半直線 $OB$ と $A$ における鉛直な接線との交点 $T=(1,\tan x)$ をとる。

三角形 $\triangle OAB$ は扇形 $OAB$ の真に内側にあり、扇形は直角三角形 $\triangle OAT$ の真に内側にある。3つの面積を比較すると $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$ が得られる。

$(0,\frac{\pi}{2})$ では $\sin x>0$ なので、全体に $\frac{2}{\sin x}$ を掛けると $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。逆数をとると不等号の向きが逆転し $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ となる。

$x\to 0^+$ のとき $\cos x\to 1$ だから、はさみうちの定理より $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$。最後に $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ は偶関数($g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$)なので $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ も成り立ち、合わせて $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ が得られる。$\blacksquare$