片側極限による極限の存在条件

($\Rightarrow$) $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ と仮定する。与えられた $\varepsilon>0$ に対し、ε–δ 定義より $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ を満たす $\delta>0$ が存在する。

特に $x_0<x<x_0+\delta$(右側の条件)または $x_0-\delta<x<x_0$(左側の条件)のとき自動的に $0<|x-x_0|<\delta$ となるので $|f(x)-L|<\varepsilon$。よって左右の片側極限はいずれも $L$ に等しい。

($\Leftarrow$) 逆に、左右の片側極限がともに $L$ に等しいとする。与えられた $\varepsilon>0$ に対し、左極限から $(x_0-\delta_1,x_0)$ で成り立つ $\delta_1>0$ が、右極限から $(x_0,x_0+\delta_2)$ で成り立つ $\delta_2>0$ が得られる。

$\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$ とおけば、$0<|x-x_0|<\delta$ を満たす任意の $x$ は $(x_0-\delta_1,x_0)$ または $(x_0,x_0+\delta_2)$ に属し、いずれの場合も $|f(x)-L|<\varepsilon$ が成り立つ。したがって $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。$\blacksquare$