ゲーデルの完全性定理

内容

一階述語論理において、命題 $\varphi$ が公理の集合 $\Sigma$ から導出可能である($\Sigma\vdash\varphi$)ことと、$\varphi$ が $\Sigma$ のすべてのモデルで真である($\Sigma\models\varphi$)ことは同値である。

なぜ正しいのか?

完全性定理は、一階の証明体系が何も取りこぼさないことを示す。すなわち、公理を満たすあらゆる構造で真であることは、有限の形式的証明によって実際に導出できる。これは、(後に発見される)不完全性定理と対をなす肯定的な結果である。不完全性定理は一階の証明可能性一般ではなく、算術のための特定の固定された公理系が何を証明できるかについて述べている。

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