ガンマ関数は階乗を補間する

手順1(基底段階)。$\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$ であるから、$n=0$ で公式が成り立つ。

手順2(部分積分による漸化式)。$\operatorname{Re}(z) > 0$ に対して、$u=t^z$、$dv=e^{-t}\,dt$ として $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ を部分積分すると $\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$ となる。ここで境界項が両端でゼロになることを用いた。これにより $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$ が示される。

手順3(帰納法)。ある非負整数 $k$ について $\Gamma(k+1) = k!$ が成り立つと仮定する。手順2で $z=k+1$ とすると、$\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$ である。

手順4(結論)。基底段階 $n=0$ が成り立ち(手順1)、帰納段階が $n=k$ から $n=k+1$ へ等式を引き継ぐので(手順3)、数学的帰納法により任意の非負整数 $n$ に対して $\Gamma(n+1)=n!$ が成り立つ。