特殊関数

これは、ガンマ積分が恣意的な一般化ではなく、階乗の乗法構造を正しく再現する一意な滑らかな延長であることを示しており、だからこそ非整数を代入するのに正しい対象なのである。

手順1(基底段階)。$\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$ であるから、$n=0$ で公式が成り立つ。

手順2(部分積分による漸化式)。$\operatorname{Re}(z) > 0$ に対して、$u=t^z$、$dv=e^{-t}\,dt$ として $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ を部分積分すると $\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$ となる。ここで境界項が両端でゼロになることを用いた。これにより $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$ が示される。

手順3(帰納法)。ある非負整数 $k$ について $\Gamma(k+1) = k!$ が成り立つと仮定する。手順2で $z=k+1$ とすると、$\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$ である。

手順4(結論)。基底段階 $n=0$ が成り立ち(手順1)、帰納段階が $n=k$ から $n=k+1$ へ等式を引き継ぐので(手順3)、数学的帰納法により任意の非負整数 $n$ に対して $\Gamma(n+1)=n!$ が成り立つ。

この公式は、一見純粋に代数的な対象(2つのガンマ値の比)を三角関数と結びつけ、非正整数における $\Gamma$ の極を、すべての整数における $\sin(\pi z)$ の零点と正確に一致させる恒等式である——周回積分による留数計算こそが、右辺の正弦を生み出すものである。

手順1(ベータ関数に帰着する)。$y=1-z$ として $B(x,y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ を用いると、$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = B(z,1-z) = \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{-z}\,dt$ となる。$u = t/(1-t)$ と置換すると、$0<\operatorname{Re}(z)<1$ に対してこれは $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$ になる。

手順2(鍵穴型の積分路を設定する)。$I=\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$ を評価するために、正の実軸に沿って切断された $w^{z-1}$ の分枝を用い、$\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ を鍵穴型の積分路——切断のすぐ上を外向きに、半径 $R$ の大円、切断のすぐ下を戻り、$0$ の周りの半径 $\varepsilon$ の小円——に沿って積分する。

手順3(唯一の極における留数)。積分路の内部にある $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ の唯一の特異点は $w=-1$ における単純極であり、そこでは(偏角 $\pi$ の分枝を用いて)$\mathrm{Res} = (-1)^{z-1} = e^{i\pi(z-1)}$ であるから、留数定理により鍵穴積分は $2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$ となる。

手順4(切断の両側を比較し $R\to\infty$、$\varepsilon\to 0$ とする)。$0<\operatorname{Re}(z)<1$ のとき大円と小円の寄与は消え、2本の直線部分は $w^{z-1}$ が切断を横切る際に得る位相だけ異なるので、$I\big(1 - e^{2\pi i(z-1)}\big) = 2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$ が得られる。これを $I$ について解き、$\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ を用いて指数関数を整理すると $I = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$ となり、手順1と合わせて $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$ が得られる。