量子調和振動子の離散スペクトル

ステップ1（はしご演算子）。 $\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X+\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right)$、$\hat a^\dagger=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X-\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right)$ とおく。$[\hat X,\hat P]=i\hbar$ を使って直接計算すると $[\hat a,\hat a^\dagger]=\tfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\tfrac{-i}{m\omega}[\hat X,\hat P]+\tfrac{i}{m\omega}[\hat P,\hat X]\right)=\tfrac{1}{2\hbar}\left(\hbar+\hbar\right)=1$ となる。

ステップ2（ハミルトニアンの書き換え）。 逆に解くと $\hat X=\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger)$、$\hat P=i\sqrt{\tfrac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a)$ となる。これを $\hat H=\tfrac{\hat P^2}{2m}+\tfrac12 m\omega^2\hat X^2$ に代入し、$[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ を使って項を並べ替えると $\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right)$ が得られる。数演算子 $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$ を定義すると、これは自己共役であり、任意の状態 $\phi$ について $\langle\phi|\hat N|\phi\rangle=\|\hat a\phi\|^2\ge0$ なので、$\hat N$ のすべての固有値 $n$ は $n\ge0$ を満たす。

ステップ3（はしご関係式）。 $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ から $[\hat N,\hat a]=-\hat a$ および $[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger$ が得られる。したがって $\hat N|n\rangle=n|n\rangle$ ならば $\hat N\hat a=\hat a\hat N-\hat a=\hat a(\hat N-1)$ より $\hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle)$：$\hat a$ は固有値を $1$ だけ下げる（あるいは状態を消滅させる）、$\hat a^\dagger$ は $1$ だけ上げる。

ステップ4（停止とスペクトル）。 $\hat N\ge0$ なので、任意の固有状態に $\hat a$ を繰り返し作用させても $0$ より小さい固有値は生じ得ない。降順の列 $n,n-1,n-2,\dots$ は $n=0$ で止まらなければならない（非整数の開始値だと有限回のステップ後に負の固有値が生じ、矛盾する）。よって $\hat N$ のすべての固有値は非負整数であり、基底状態 $|0\rangle$ は $\hat a|0\rangle=0$ を満たす。$|0\rangle$ に $\hat a^\dagger$ を繰り返し作用させると、すべての $n=0,1,2,\dots$ について規格化可能な固有状態 $|n\rangle\propto(\hat a^\dagger)^n|0\rangle$ が得られ、それ以外は存在しない。$\hat N|n\rangle=n|n\rangle$ を $\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12)$ に代入すると $E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right)$ が得られる。