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数理物理学

量子力学の数学的基礎

量子力学を数学的に厳密にする関数解析学と作用素論。

直観ベクトルとしての量子状態、測定器としての観測量

量子系のあらゆる可能な状態——電子のスピン、粒子の位置、光子の偏光——を、無限次元かもしれないある空間の中の矢印（ベクトル）として思い描いてみよう。そして測定できるあらゆる物理量——位置、運動量、エネルギー——は、その矢印に付随する単なる数ではなく、一つの器具として捉える。すなわち矢印に作用する線形変換であり、測定するとその矢印を器具固有の特別な方向のどれかへ「跳躍」させ、対応する数を読み出す。ベクトルと、それに作用する器具というこのひとつの描像こそが、量子力学の数学的な骨格のすべてである。不確定性、量子化、干渉は、この描像を真剣に受け止め、数学がどこへ導こうとも従っていったときに現れるものにすぎない。

周波数が増していく正弦波状の平面波を重ね合わせて局在した波束を作る図。合計する高調波の数をスライダーで制御できる。
多数の運動量固有状態 eikxe^{ikx} を重ね合わせて作った波束。高調波の数 nn を増やすと位置空間では波束が狭まるが、運動量空間では逆に広がる——これが不確定性原理のフーリエ解析的な側面である。

中高波動関数からヒルベルト空間へ

定義: ヒルベルト空間と量子状態

ヒルベルト空間 H\mathcal H とは、内積 ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle を備え、ノルム ∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩\|\psi\|=\sqrt{\langle\psi,\psi\rangle} に関して完備（あらゆるコーシー列が収束する）な複素ベクトル空間である。dd 次元を運動する1粒子については、関係する空間は H=L2(Rd)\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^d)、すなわち ∫Rd∣ψ(x)∣2 dx<∞\int_{\mathbb R^d}|\psi(x)|^2\,dx<\infty を満たす2乗可積分な複素関数 ψ(x)\psi(x) の空間である。純粋量子状態とは単位ベクトル ψ∈H\psi\in\mathcal H である（厳密には、全体位相は観測不能なので射線 {eiθψ}\{e^{i\theta}\psi\}）。そして ∣ψ(x)∣2|\psi(x)|^2 は粒子を xx に見出す確率密度と解釈される。

⟨ψ,φ⟩=∫Rdψ(x)‾ φ(x) dx,∥ψ∥2=⟨ψ,ψ⟩=∫Rd∣ψ(x)∣2 dx=1\langle \psi,\varphi\rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \overline{\psi(x)}\,\varphi(x)\,dx, \qquad \|\psi\|^2=\langle\psi,\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^d}|\psi(x)|^2\,dx = 1

位置、運動量、エネルギー、スピンといった物理的観測量は、数ではなく H\mathcal H 上の自己共役（エルミート）演算子 A^\hat A で表される。すなわち A^=A^∗\hat{A} = \hat{A}^* であり、その定義域内のすべての ψ,φ\psi,\varphi について ⟨ψ,A^φ⟩=⟨A^ψ,φ⟩\langle\psi,\hat A\varphi\rangle=\langle\hat A\psi,\varphi\rangle が成り立つ。自己共役性はまさに、可能な測定結果（A^\hat A のスペクトル）を実数に強制し、異なる固有値に対する固有ベクトルが直交することを保証する代数的条件である——これが実の物理量の測定が常に実数を返す数学的理由である。

iℏ ∂tψ(x,t)=H^ψ(x,t),H^=−ℏ22m∇2+V(x),U^(t)=e−itH^/ℏi\hbar\,\partial_t \psi(x,t) = \hat H\psi(x,t), \qquad \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x), \qquad \hat U(t)=e^{-i t\hat H/\hbar}

ストーンの定理は、この2つの描像が同じ事実を2通りに見たものであることを述べる。全確率を保存する時間発展、すなわちユニタリ演算子 U^(t)\hat U(t) の強連続な1パラメータ群（U^(t)∗U^(t)=I\hat U(t)^*\hat U(t)=I）は常に U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar} という形を取り、そこに現れる自己共役演算子 H^\hat H（ハミルトニアン）は一意に定まる——逆に、任意の自己共役な H^\hat H はそのような群を生成する。U^(t)ψ\hat U(t)\psi を t=0t=0 で微分するとシュレーディンガー方程式 iℏ∂tψ=H^ψi\hbar \partial_t \psi = \hat{H}\psi が得られる：この2つは同じ力学の論理的に同値な定式化である。

物理系の古典的記述と量子的記述
概念古典力学量子力学
状態位相空間の1点 (x,p)(x,p)単位ベクトル ψ∈\psi\in H=L2(Rd)\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^d)
観測量位相空間上の関数 f(x,p)f(x,p)自己共役演算子 A^=A^∗\hat{A} = \hat{A}^*
測定結果正確に値 f(x,p)f(x,p)A^\hat A の固有値、確率 ∣⟨e∣ψ⟩∣2|\langle e|\psi\rangle|^2 で得られる
時間発展ハミルトン方程式 q˙=∂H/∂p\dot q=\partial H/\partial pユニタリな流れ U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar}

大学この描像を厳密にする定理

定理: ロバートソン・ハイゼンベルクの不確定性原理

H\mathcal H 上の任意の自己共役演算子 A^=A^∗\hat A=\hat A^*、B^=B^∗\hat B=\hat B^* と、A^B^\hat A\hat B および B^A^\hat B\hat A の定義域に属する任意の単位ベクトル ψ\psi に対して、標準偏差 σA=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩\sigma_A=\sqrt{\langle\psi|(\hat A-\langle\hat A\rangle)^2|\psi\rangle} と σB\sigma_B（期待値は状態 ψ\psi で取る）は σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right| を満たす。ここで [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A である。

なぜ正しいのか?

2つの観測量が同時に完全な精度で測定できるのは、それらの演算子が交換する場合に限られる。交換子の大きさはその両立不可能性を直接測る量である。コーシー・シュワルツの不等式は「この2つのベクトルが同時に短くはなり得ない」という直観を厳密な数値的下限に変え、内積を実部と虚部に分けることこそが、交換子（真に量子的な部分）を反交換子（古典的に見える相関項）から切り分ける操作となる。

証明

ステップ1（中心化された演算子）。 ΔA^=A^−⟨A^⟩I\Delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle I、ΔB^=B^−⟨B^⟩I\Delta\hat B=\hat B-\langle\hat B\rangle I とおく。⟨A^⟩,⟨B^⟩\langle\hat A\rangle,\langle\hat B\rangle は実数のスカラーなので、これらも自己共役である。定義より σA2=⟨ψ∣ΔA^2∣ψ⟩=∥ΔA^ ψ∥2\sigma_A^2=\langle\psi|\Delta\hat A^2|\psi\rangle=\|\Delta\hat A\,\psi\|^2、同様に σB2=∥ΔB^ ψ∥2\sigma_B^2=\|\Delta\hat B\,\psi\|^2 となる。

ステップ2（コーシー・シュワルツ）。 f=ΔA^ ψf=\Delta\hat A\,\psi、g=ΔB^ ψg=\Delta\hat B\,\psi にコーシー・シュワルツの不等式 ∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle を適用すると、∣⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩∣2≤σA2 σB2.|\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle|^2 \le \sigma_A^2\,\sigma_B^2.

ステップ3（実部と虚部に分ける）。 ⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩=⟨ψ∣ΔA^ΔB^∣ψ⟩\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle=\langle\psi|\Delta\hat A\Delta\hat B|\psi\rangle と書く。ΔA^,ΔB^\Delta\hat A,\Delta\hat B が自己共役であることから、複素共役を取ると演算子の順序が入れ替わる：⟨ΔA^ΔB^⟩∗=⟨ΔB^ΔA^⟩\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle^*=\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle。したがって反交換子の期待値 ⟨{ΔA^,ΔB^}⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩+⟨ΔB^ΔA^⟩=2 Re⟨ΔA^ΔB^⟩\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle+\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2\,\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle は実数であり、交換子の期待値 ⟨[ΔA^,ΔB^]⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩−⟨ΔB^ΔA^⟩=2i Im⟨ΔA^ΔB^⟩\langle[\Delta\hat A,\Delta\hat B]\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle-\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2i\,\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle は純虚数である。また、定数シフトは交換子の中で相殺するので [ΔA^,ΔB^]=[A^,B^][\Delta\hat A,\Delta\hat B]=[\hat A,\hat B] となる。

ステップ4（まとめる）。 実部・虚部にピタゴラスの定理を適用すると、∣⟨ΔA^ΔB^⟩∣2=(Re⟨ΔA^ΔB^⟩)2+(Im⟨ΔA^ΔB^⟩)2=14∣⟨{ΔA^,ΔB^}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2,|\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle|^2=\big(\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2+\big(\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2=\tfrac14|\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle|^2+\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 \ge \tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2, となり、明らかに非負である反交換子項を落とした。ステップ2と合わせて σA2σB2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2\sigma_A^2\sigma_B^2\ge\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 を得て、両辺（ともに非負）の平方根を取れば σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right| が得られる。

定理: 量子調和振動子の離散スペクトル

ハミルトニアン H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\dfrac{\hat P^2}{2m}+\dfrac12 m\omega^2\hat X^2（[X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar）は、離散的で縮退のないスペクトル En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right)、n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots を持つ。

なぜ正しいのか?

微分方程式を直接解く代わりに、ちょうど2次形式を因数分解するように、ハミルトニアンを代数的に「上昇」演算子と「下降」演算子に因数分解する。得られる数演算子の正値性と、はしご演算子がその固有値を1単位ずつずらすという代数関係が組み合わさり、固有値は非負の最下段から始まる等間隔のはしごを形成せざるを得ない——エネルギーの量子化は純粋に代数だけから導かれる。

証明

ステップ1（はしご演算子）。 a^=mω2ℏ(X^+imωP^)\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X+\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right)、a^†=mω2ℏ(X^−imωP^)\hat a^\dagger=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X-\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right) とおく。[X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar を使って直接計算すると [a^,a^†]=mω2ℏ(−imω[X^,P^]+imω[P^,X^])=12ℏ(ℏ+ℏ)=1[\hat a,\hat a^\dagger]=\tfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\tfrac{-i}{m\omega}[\hat X,\hat P]+\tfrac{i}{m\omega}[\hat P,\hat X]\right)=\tfrac{1}{2\hbar}\left(\hbar+\hbar\right)=1 となる。

ステップ2（ハミルトニアンの書き換え）。 逆に解くと X^=ℏ2mω(a^+a^†)\hat X=\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger)、P^=imωℏ2(a^†−a^)\hat P=i\sqrt{\tfrac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a) となる。これを H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\tfrac{\hat P^2}{2m}+\tfrac12 m\omega^2\hat X^2 に代入し、[a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 を使って項を並べ替えると H^=ℏω(a^†a^+12)\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right) が得られる。数演算子 N^=a^†a^\hat N=\hat a^\dagger\hat a を定義すると、これは自己共役であり、任意の状態 ϕ\phi について ⟨ϕ∣N^∣ϕ⟩=∥a^ϕ∥2≥0\langle\phi|\hat N|\phi\rangle=\|\hat a\phi\|^2\ge0 なので、N^\hat N のすべての固有値 nn は n≥0n\ge0 を満たす。

ステップ3（はしご関係式）。 [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 から [N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a および [N^,a^†]=a^†[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger が得られる。したがって N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle ならば N^a^=a^N^−a^=a^(N^−1)\hat N\hat a=\hat a\hat N-\hat a=\hat a(\hat N-1) より N^(a^∣n⟩)=(n−1)(a^∣n⟩)\hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle)：a^\hat a は固有値を 11 だけ下げる（あるいは状態を消滅させる）、a^†\hat a^\dagger は 11 だけ上げる。

ステップ4（停止とスペクトル）。 N^≥0\hat N\ge0 なので、任意の固有状態に a^\hat a を繰り返し作用させても 00 より小さい固有値は生じ得ない。降順の列 n,n−1,n−2,…n,n-1,n-2,\dots は n=0n=0 で止まらなければならない（非整数の開始値だと有限回のステップ後に負の固有値が生じ、矛盾する）。よって N^\hat N のすべての固有値は非負整数であり、基底状態 ∣0⟩|0\rangle は a^∣0⟩=0\hat a|0\rangle=0 を満たす。∣0⟩|0\rangle に a^†\hat a^\dagger を繰り返し作用させると、すべての n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots について規格化可能な固有状態 ∣n⟩∝(a^†)n∣0⟩|n\rangle\propto(\hat a^\dagger)^n|0\rangle が得られ、それ以外は存在しない。N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle を H^=ℏω(N^+12)\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12) に代入すると En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right) が得られる。

大学実世界での応用と具体例

これらは教科書だけの抽象概念ではない。量子トンネル効果——シュレーディンガー方程式が粒子軌道の方程式ではなく波動方程式であることの直接の帰結——は、フラッシュメモリのセルが絶縁障壁を通して電子を押し込むことで1ビットを記憶することを可能にし、走査型トンネル顕微鏡（STM）がトンネル電流を測定することで個々の原子を画像化することを可能にする。スペクトル定理が保証する種類の離散エネルギー準位は、MRI装置が共鳴周波数として読み取るものであり、超伝導量子ビットが量子情報を蓄えるために最低の2つのエネルギー準位 ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle として利用するものである。不確定性原理は、そのような量子ビットの状態をどれほど精密に測定・制御できるかの最終的な雑音限界を定める。

例: 走査型トンネル顕微鏡におけるトンネル電流

電子が高さ V0=4.0 eVV_0=4.0\,\text{eV}（STM探針と金属表面の間の真空ギャップ）、幅 L=0.50 nmL=0.50\,\text{nm} の長方形ポテンシャル障壁に、運動エネルギー E=3.0 eV<V0E=3.0\,\text{eV}<V_0 で近づく。透過係数 T≈16EV0(1−EV0)e−2κLT\approx 16\dfrac{E}{V_0}\left(1-\dfrac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa L}（κ=2m(V0−E)ℏ\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}）を用いて TT を見積もり、探針を 0.1 nm0.1\,\text{nm} 近づけただけでトンネル電流がこれほど劇的に変化する理由を説明せよ。

解答

ステップ1：κ\kappa を計算する。V0−E=1.0 eV=1.6×10−19 JV_0-E=1.0\,\text{eV}=1.6\times10^{-19}\,\text{J}、m=9.11×10−31 kgm=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}、ℏ=1.055×10−34 J⋅s\hbar=1.055\times10^{-34}\,\text{J·s} より、κ=2m(V0−E)/ℏ≈5.1×109 m−1\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\approx 5.1\times10^{9}\,\text{m}^{-1}、すなわち約 5.1 nm−15.1\,\text{nm}^{-1} となる。

ステップ2：指数部を計算する。2κL≈2×5.1 nm−1×0.50 nm≈5.12\kappa L\approx 2\times5.1\,\text{nm}^{-1}\times0.50\,\text{nm}\approx5.1 なので、e−2κL≈e−5.1≈6.1×10−3e^{-2\kappa L}\approx e^{-5.1}\approx6.1\times10^{-3} となる。

ステップ3：TT を組み立てる。前係数は 16EV0(1−EV0)=16×0.75×0.25=3.016\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})=16\times0.75\times0.25=3.0 なので、T≈3.0×6.1×10−3≈1.8×10−2T\approx3.0\times6.1\times10^{-3}\approx1.8\times10^{-2} となる。

ステップ4：距離への感度。T∝e−2κLT\propto e^{-2\kappa L} なので、LL を 0.1 nm0.1\,\text{nm} 減らすと TT は e2κ×0.1 nm=e1.02≈2.8e^{2\kappa\times0.1\,\text{nm}}=e^{1.02}\approx2.8 倍になる——原子以下スケールの距離変化でトンネル電流がおよそ3倍に跳ね上がる。この指数的な感度こそが、STMが個々の原子を分解できる理由である。

例: スピン1/2量子ビットの最小不確定性

超伝導量子ビットが状態 ∣0⟩|0\rangle（zz 軸方向のスピンアップ、σ^z\hat\sigma_z の固有値 +1+1 の固有状態）に準備されている。パウリ演算子 σ^x,σ^y,σ^z\hat\sigma_x,\hat\sigma_y,\hat\sigma_z（いずれも自己共役、固有値は ±1\pm1、かつ [σ^x,σ^y]=2iσ^z[\hat\sigma_x,\hat\sigma_y]=2i\hat\sigma_z）を用いて、この状態での σσx\sigma_{\sigma_x} と σσy\sigma_{\sigma_y} を計算し、対 (σ^x,σ^y)(\hat\sigma_x,\hat\sigma_y) についてロバートソン・ハイゼンベルクの下限を確認せよ。

解答

ステップ1：∣0⟩|0\rangle における期待値。∣0⟩|0\rangle は σ^z\hat\sigma_z のみの固有状態であり、σ^x,σ^y\hat\sigma_x,\hat\sigma_y はこれを直交する状態 ∣1⟩|1\rangle に反転させるので、⟨0∣σ^x∣0⟩=⟨0∣σ^y∣0⟩=0\langle0|\hat\sigma_x|0\rangle=\langle0|\hat\sigma_y|0\rangle=0 であり、⟨0∣σ^z∣0⟩=1\langle0|\hat\sigma_z|0\rangle=1 である。

ステップ2：分散。σ^x2=σ^y2=I\hat\sigma_x^2=\hat\sigma_y^2=I なので、σσx2=⟨0∣σ^x2∣0⟩−⟨0∣σ^x∣0⟩2=1−0=1\sigma_{\sigma_x}^2=\langle0|\hat\sigma_x^2|0\rangle-\langle0|\hat\sigma_x|0\rangle^2=1-0=1、同様に σσy2=1\sigma_{\sigma_y}^2=1。よって σσx=σσy=1\sigma_{\sigma_x}=\sigma_{\sigma_y}=1 で σσxσσy=1\sigma_{\sigma_x}\sigma_{\sigma_y}=1。

ステップ3：ロバートソン・ハイゼンベルクの下限。12∣⟨0∣[σ^x,σ^y]∣0⟩∣=12∣⟨0∣2iσ^z∣0⟩∣=∣⟨0∣σ^z∣0⟩∣=1\frac12|\langle0|[\hat\sigma_x,\hat\sigma_y]|0\rangle|=\frac12|\langle0|2i\hat\sigma_z|0\rangle|=|\langle0|\hat\sigma_z|0\rangle|=1。

ステップ4：比較。積 11 は下限 11 に等しい：∣0⟩|0\rangle は (σ^x,σ^y)(\hat\sigma_x,\hat\sigma_y) に対する最小不確定性状態であり、zz 軸方向に準備された量子ビットに対して σ^x\hat\sigma_x または σ^y\hat\sigma_y を測定すると最大限にランダム（50/50）になる。

交換子 [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P] = i\hbar は何に等しいか。

ストーンの定理によれば、U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar} がすべての tt でユニタリであるために H^\hat H は何でなければならないか。

量子調和振動子が ℏω=2 eV\hbar\omega=2\,\text{eV} であるとき、n=1n=1 準位のエネルギーはいくらか。

走査型トンネル顕微鏡において、トンネル電流が探針と試料間の距離に対して極めて敏感である理由は、T≈16EV0(1−EV0)e−2κLT\approx 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa L} のどの特徴から生じるか。

参考文献

  1. John von Neumann (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics
  2. Howard P. Robertson (1929). The Uncertainty Principle · DOI:10.1103/PhysRev.34.163
  3. Marshall H. Stone (1932). On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space · DOI:10.2307/1968538