ハッセの定理(ハッセ限界)

フロベニウス自己準同型 $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$、$\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$ を考える。その不動点はちょうど $E(\mathbb{F}_p)$ であり、$\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$ が成り立つことが示せる。ここで $t = \varphi + \hat\varphi$ は自己準同型環に作用するフロベニウスのトレースである。$E$ の自己準同型上の次数写像は正定値な整数値二次形式であり($m\varphi+n=0$ のとき以外は等号なしですべての整数 $m,n$ について $\deg(m\varphi+n) \ge 0$ を満たす)、$\deg\varphi = p$ である。$\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ を $m,n$ の二次形式として展開すると、その判別式が非正であることが強制される:$t^2 - 4p \le 0$、すなわち $|t|\le 2\sqrt p$。$\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$ であるから、これはまさに主張された限界である。