異なる実固有値による一般解

まず $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ が系を満たすことを確認する:その導関数は $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ であり、$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ より $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$ である。両辺が一致するので、$i=1,2$ に対して確かに解である。

$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ の線形独立性:$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$ と仮定する。$A$ を適用すると $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$ となる。最初の関係式に $\lambda_2$ を掛けて引くと $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$ となり、$\lambda_1\neq\lambda_2$ かつ $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$ より $c_1=0$、続いて $c_2=0$ も得られる。よって $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ は独立である。

系の線形性により(スカラーの場合とまったく同様に)、任意の組み合わせ $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ は系を満たす。$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ は独立なので、任意の初期条件 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ に合わせることは $(c_1,c_2)$ について $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$ を解くことに相当し、$\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ が平面の基底であるため一意な解を持つ。よってすべての解が捉えられ、一般解 $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ が得られる。