微分方程系

固有ベクトルは結合系を固有方向に沿った二つの非結合スカラー方程式に変える:各 $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ は $\mathbf{v}_i$ が張る直線に沿ってのみ動き、速度 $\lambda_i$ で増大または縮小するので、全体の運動は二つの独立な直線運動の混合となる。

まず $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ が系を満たすことを確認する:その導関数は $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ であり、$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ より $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$ である。両辺が一致するので、$i=1,2$ に対して確かに解である。

$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ の線形独立性:$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$ と仮定する。$A$ を適用すると $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$ となる。最初の関係式に $\lambda_2$ を掛けて引くと $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$ となり、$\lambda_1\neq\lambda_2$ かつ $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$ より $c_1=0$、続いて $c_2=0$ も得られる。よって $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ は独立である。

系の線形性により(スカラーの場合とまったく同様に)、任意の組み合わせ $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ は系を満たす。$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ は独立なので、任意の初期条件 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ に合わせることは $(c_1,c_2)$ について $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$ を解くことに相当し、$\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ が平面の基底であるため一意な解を持つ。よってすべての解が捉えられ、一般解 $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ が得られる。

$A$ の跡と行列式はそれぞれ固有値の和と積である——したがってこの定理は、2次方程式の根に関する主張(両方とも実部が負)を、固有値を明示的に解くことなく、二つの簡単に計算できる数に関する主張に変換する。

特性多項式の定義により、$\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ の根は $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$ であり、ヴィエトの公式により $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$、$\lambda_1\lambda_2=\det A$ である。

$\det A<0$ ならば $\lambda_1\lambda_2<0$ となり、固有値は実数で異符号(鞍点)である;正の固有値の方向に沿って解は無限に増大するので、原点は不安定である。

$\det A>0$ かつ $\text{tr}\,A<0$ の場合:固有値が実数のとき $\lambda_1\lambda_2>0$ は同符号を意味し、$\lambda_1+\lambda_2<0$ によりその符号は負であるため、$e^{\lambda_1t}\to 0$ と $e^{\lambda_2t}\to 0$ の両方が成り立つ;固有値が共役複素数 $\alpha\pm i\beta$ のとき、$\text{tr}\,A=2\alpha<0$ より $\alpha<0$ となり、振幅係数 $e^{\alpha t}\to 0$ である一方 $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ は有界のままである。すべての部分ケースで、すべての解が $\mathbf{0}$ に減衰する:漸近安定である。

逆に $\text{tr}\,A>0$($\det A>0$ の場合、実固有値は跡と同符号、または正の実部を持つ複素数)ならば、少なくとも一つの指数因子が増大するため、原点の近くだが原点自体ではない点から出発する解は離れていく:不安定である。これによりすべての符号の組み合わせが網羅され、同値性が証明される。