跡・行列式による安定性判定

特性多項式の定義により、$\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ の根は $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$ であり、ヴィエトの公式により $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$、$\lambda_1\lambda_2=\det A$ である。

$\det A<0$ ならば $\lambda_1\lambda_2<0$ となり、固有値は実数で異符号(鞍点)である;正の固有値の方向に沿って解は無限に増大するので、原点は不安定である。

$\det A>0$ かつ $\text{tr}\,A<0$ の場合:固有値が実数のとき $\lambda_1\lambda_2>0$ は同符号を意味し、$\lambda_1+\lambda_2<0$ によりその符号は負であるため、$e^{\lambda_1t}\to 0$ と $e^{\lambda_2t}\to 0$ の両方が成り立つ;固有値が共役複素数 $\alpha\pm i\beta$ のとき、$\text{tr}\,A=2\alpha<0$ より $\alpha<0$ となり、振幅係数 $e^{\alpha t}\to 0$ である一方 $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ は有界のままである。すべての部分ケースで、すべての解が $\mathbf{0}$ に減衰する:漸近安定である。

逆に $\text{tr}\,A>0$($\det A>0$ の場合、実固有値は跡と同符号、または正の実部を持つ複素数)ならば、少なくとも一つの指数因子が増大するため、原点の近くだが原点自体ではない点から出発する解は離れていく:不安定である。これによりすべての符号の組み合わせが網羅され、同値性が証明される。