楕円の場合はまさにクライン模型の双曲幾何学である

直径に沿って。 $x=0$、$y=(r,0,\dots,0)$（$0<r<1$）とする。これらを通る直線は $\partial\mathbb{B}$ と $a=(-1,0,\dots,0)$、$b=(1,0,\dots,0)$ で交わるので、$|ay|=1+r$、$|ax|=1$、$|bx|=1$、$|by|=1-r$ となり、$d_{\mathbb{B}}(0,y)=\frac12\ln\frac{1+r}{1-r}=\operatorname{artanh}(r)$ を得る。これは、曲率 $-1$ のベルトラミ・クライン模型において中心からユークリッド半径 $r$ の点までの双曲距離の標準公式と正確に一致する。

直径上にない場合。 一般の $x,y\in\mathbb{B}$ に対して、$x,y$ を通る直線を座標軸に移す回転 $R\in O(n)$（$0$ を固定する円板の等長写像）を選ぶ。$R$ は $\mathbb{B}$ を保ち、4点 $a,x,y,b$ を同じ複比を持つ別の4点に移すので、$d_{\mathbb{B}}(x,y)=d_{\mathbb{B}}(Rx,Ry)$ となり、さらに $\mathbb{B}$ の双曲的な等長写像（$\mathbb{B}$ を保つメビウス変換で、これも複比を保つ）によって一方の点を $0$ へ平行移動すれば、上で計算した直径の場合に帰着する。この方法で得られる式はまさにベルトラミ・クラインの距離公式そのものであるから、$(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})$ は $n$ 次元双曲空間と等長である。

一般の楕円体。 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を $T(\mathbb{B})=E$ を満たす可逆な線形（またはアフィン）写像とする。アフィン写像は無限遠超平面を固定する $\mathbb{RP}^n$ の射影変換であり、共線点の複比はあらゆる射影変換のもとで不変である。$T$ は $x,y\in\mathbb{B}$ を通る直線を $Tx,Ty\in E$ を通る直線に、境界の対 $a,b$ を $E$ の境界の対 $Ta,Tb$ に写すので、定義に用いる4点の組を別の4点の組に写す。したがって $[a,x,y,b]=[Ta,Tx,Ty,Tb]$ となり、すべての $x,y$ について $d_E(Tx,Ty)=d_{\mathbb{B}}(x,y)$ が成り立つ。よって $T:(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})\to(E,d_E)$ は等長写像であり、$(E,d_E)$ も再び $n$ 次元双曲空間となる。