ヒルベルト幾何学

式 $d_\Omega(x,y) = \frac12\ln[a,x,y,b]$ は、$x$ と $y$ の役割を $a$ と $b$ の役割とともに入れ替えても対称である。なぜならラベルを付け替えても $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ は自分自身に戻るからである。また $a<x<y<b$ より $|ay|>|ax|$ かつ $|bx|>|by|$ となるため、複比はともに $1$ より大きい2つの数の積となり、$x\neq y$ のときにちょうど $1$ を超える。これにより対角線上以外では $d_\Omega$ は厳密に正となる。固定された直線に沿った加法性は、実質的には実数直線上の通常の数についての主張にすぎない：同じ境界点の組 $a,b$ から計算された複比は、3番目の共線点を挿入するとドミノ式に掛け合わさっていくため、対数を取るとそのドミノ的な積が和に変わる——これは線分上の任意の3点で数値的に確かめられるのと同じ現象である。

対称性と正値性。 $[a,x,y,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\cdot\frac{|bx|}{|by|}$ と書く。直線上で $a<x<y<b$ であるから、$|ay|=|ax|+|xy|>|ax|$ かつ $|bx|=|by|+|xy|>|by|$ となり、$x\ne y$ のとき両方の因子が $1$ を超えるので $[a,x,y,b]>1$、したがって $d_\Omega(x,y)>0$ となる。$x=y$ のときは両方の因子が $1$ に等しい。ラベルの付け替え $(x,y,a,b)\mapsto(y,x,b,a)$ は $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ を $\frac{|bx||ay|}{|by||ax|}$ に写すが、これは同じ数であるから $d_\Omega(x,y)=d_\Omega(y,x)$ となる。

直線上の加法性。 $x,y,z$ が共線で $y$ が $x$ と $z$ の間にあるとし、$a,b$ をその直線の（共通の）境界交点とする。直線上の4つの1次元距離をすべて書き出すと、$$[a,x,y,b]\cdot[a,y,z,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\frac{|bx|}{|by|}\cdot\frac{|az|}{|ay|}\frac{|by|}{|bz|}=\frac{|az|}{|ax|}\frac{|bx|}{|bz|}=[a,x,z,b],$$ となる。これは因子 $|ay|$ と $|by|$ が相殺するためである。両辺の $\frac12\ln$ を取ると $d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)=d_\Omega(x,z)$ が得られ、これはまさに三角不等式の等号成立の場合であるから、直線分 $[x,z]$ はヒルベルト距離を実現し、測地線となる。

直線上にない場合の三角不等式。 $x,y,z$ が共線でない場合には、$\Omega$ の凸性が本質的に必要になる：$(x,z)$ の対を $y$ を経由して射影すると、$x$ から $z$ へ直接進む場合と比べて関係する複比は必ず大きくなる。なぜなら $y$ から見た境界点は、$xz$ に沿って直接見た境界点よりも $x$ や $z$ に近くはならないからである——この単調性は $\Omega$ の凸性を用いて注意深く証明され、一般に $d_\Omega(x,z)\le d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)$ を与える（Hilbert 1895 参照。完全な導出は Handbook of Hilbert Geometry 第1章にある）。

ヒルベルトの複比による構成は、アーサー・ケイリーとフェリックス・クラインが数十年前に円錐曲線の内部に双曲幾何学の射影模型を構築するために用いたものとまったく同じである——ヒルベルトがクラインに宛てた1895年の手紙は、複比の公式が距離を定義できるのは円錐曲線の特別な二次形状ゆえではなく $\Omega$ の凸性ゆえであることを指摘した。したがって彼の一般的な構成を $\Omega=\mathbb{B}$ に特殊化すると、ケイリーとクラインの構成をそっくりそのまま再現することになる。これこそ、楕円が単に「双曲的に似ている」のではなく文字通り双曲的であるという、唯一の形である理由である。

直径に沿って。 $x=0$、$y=(r,0,\dots,0)$（$0<r<1$）とする。これらを通る直線は $\partial\mathbb{B}$ と $a=(-1,0,\dots,0)$、$b=(1,0,\dots,0)$ で交わるので、$|ay|=1+r$、$|ax|=1$、$|bx|=1$、$|by|=1-r$ となり、$d_{\mathbb{B}}(0,y)=\frac12\ln\frac{1+r}{1-r}=\operatorname{artanh}(r)$ を得る。これは、曲率 $-1$ のベルトラミ・クライン模型において中心からユークリッド半径 $r$ の点までの双曲距離の標準公式と正確に一致する。

直径上にない場合。 一般の $x,y\in\mathbb{B}$ に対して、$x,y$ を通る直線を座標軸に移す回転 $R\in O(n)$（$0$ を固定する円板の等長写像）を選ぶ。$R$ は $\mathbb{B}$ を保ち、4点 $a,x,y,b$ を同じ複比を持つ別の4点に移すので、$d_{\mathbb{B}}(x,y)=d_{\mathbb{B}}(Rx,Ry)$ となり、さらに $\mathbb{B}$ の双曲的な等長写像（$\mathbb{B}$ を保つメビウス変換で、これも複比を保つ）によって一方の点を $0$ へ平行移動すれば、上で計算した直径の場合に帰着する。この方法で得られる式はまさにベルトラミ・クラインの距離公式そのものであるから、$(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})$ は $n$ 次元双曲空間と等長である。

一般の楕円体。 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を $T(\mathbb{B})=E$ を満たす可逆な線形（またはアフィン）写像とする。アフィン写像は無限遠超平面を固定する $\mathbb{RP}^n$ の射影変換であり、共線点の複比はあらゆる射影変換のもとで不変である。$T$ は $x,y\in\mathbb{B}$ を通る直線を $Tx,Ty\in E$ を通る直線に、境界の対 $a,b$ を $E$ の境界の対 $Ta,Tb$ に写すので、定義に用いる4点の組を別の4点の組に写す。したがって $[a,x,y,b]=[Ta,Tx,Ty,Tb]$ となり、すべての $x,y$ について $d_E(Tx,Ty)=d_{\mathbb{B}}(x,y)$ が成り立つ。よって $T:(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})\to(E,d_E)$ は等長写像であり、$(E,d_E)$ も再び $n$ 次元双曲空間となる。