ヒルベルト距離は真の距離であり、直線分が測地線になる

対称性と正値性。 $[a,x,y,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\cdot\frac{|bx|}{|by|}$ と書く。直線上で $a<x<y<b$ であるから、$|ay|=|ax|+|xy|>|ax|$ かつ $|bx|=|by|+|xy|>|by|$ となり、$x\ne y$ のとき両方の因子が $1$ を超えるので $[a,x,y,b]>1$、したがって $d_\Omega(x,y)>0$ となる。$x=y$ のときは両方の因子が $1$ に等しい。ラベルの付け替え $(x,y,a,b)\mapsto(y,x,b,a)$ は $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ を $\frac{|bx||ay|}{|by||ax|}$ に写すが、これは同じ数であるから $d_\Omega(x,y)=d_\Omega(y,x)$ となる。

直線上の加法性。 $x,y,z$ が共線で $y$ が $x$ と $z$ の間にあるとし、$a,b$ をその直線の（共通の）境界交点とする。直線上の4つの1次元距離をすべて書き出すと、$$[a,x,y,b]\cdot[a,y,z,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\frac{|bx|}{|by|}\cdot\frac{|az|}{|ay|}\frac{|by|}{|bz|}=\frac{|az|}{|ax|}\frac{|bx|}{|bz|}=[a,x,z,b],$$ となる。これは因子 $|ay|$ と $|by|$ が相殺するためである。両辺の $\frac12\ln$ を取ると $d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)=d_\Omega(x,z)$ が得られ、これはまさに三角不等式の等号成立の場合であるから、直線分 $[x,z]$ はヒルベルト距離を実現し、測地線となる。

直線上にない場合の三角不等式。 $x,y,z$ が共線でない場合には、$\Omega$ の凸性が本質的に必要になる：$(x,z)$ の対を $y$ を経由して射影すると、$x$ から $z$ へ直接進む場合と比べて関係する複比は必ず大きくなる。なぜなら $y$ から見た境界点は、$xz$ に沿って直接見た境界点よりも $x$ や $z$ に近くはならないからである——この単調性は $\Omega$ の凸性を用いて注意深く証明され、一般に $d_\Omega(x,z)\le d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)$ を与える（Hilbert 1895 参照。完全な導出は Handbook of Hilbert Geometry 第1章にある）。