ベズーの定理

$C_1$と$C_2$を定める次数$d_1 = \deg(C_1)$と$d_2 = \deg(C_2)$の斉次多項式を$F(x,y,z)$と$G(x,y,z)$とする。点$[0:1:0]$がいずれの曲線上にもなく、またどの二つの交点も$[0:1:0]$を通る同じ$[x:z]$直線上にないように射影座標を選ぶ。

$F$と$G$を、$(x,z)$の斉次多項式を係数とする一変数$y$の多項式とみなす。それらのシルベスター終結式$R(x,z) = \operatorname{Res}_y(F, G)$は$(x,z)$の非零斉次多項式であり($F$と$G$が共通因子を持たないため非零)、シルベスター行列の斉次性を計算すると$R(x,z)$の次数はちょうど$d_1 d_2$になる。

代数的閉体$k$上では、次数$d_1 d_2$の二変数斉次多項式は重複度を込めて$d_1 d_2$個の一次形式に完全に分解する。各一次因子は$F$と$G$の共通零点を含む$[0:1:0]$を通る直線に対応し、その因子の重複度はその点での局所交点重複度$\dim_k \mathcal{O}_{P}(C_1 \cap C_2)$と一致するため、合計$\left| C_1 \cap C_2 \right| = \deg(C_1) \cdot \deg(C_2)$が得られる。