代数幾何学

多項式環の根基イデアルがアフィン多様体と一対一に対応するという、代数と幾何の正確な辞書を与える。これにより図形についての問いを純粋な環の計算で答えられ、逆も成り立つ。$k$が代数的閉体であるという仮定がないとこの辞書は壊れる(実数の場合、$x^2+1$は零点集合が空の非自明なイデアルを生成する)。

まず弱形式を概説する。$J$が$k[x_1,\ldots,x_n]$の真のイデアルならば$V(J)$は空でない。$J$を含む極大イデアル$\mathfrak{m}$を選ぶと、商$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}$は体であり、有限生成な$k$代数である。ザリスキーの補題により、$k$のそのような体拡大は$k$の有限代数拡大である。$k$が代数的閉体であることから$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} = k$が強制される。この商写像による$x_1,\ldots,x_n$の像は、すべての$g \in J$に対して$g(a)=0$となる点$a \in k^n$を与え、$a \in V(J)$が従う。

強形式$I(V(J)) = \sqrt{J}$については、包含$\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$は自明である。$f^r \in J$ならば、$f$は$J$のすべての元が消える場所で消える。逆の包含にはラビノヴィッチのトリックを使う。$f \in I(V(J))$が$f \in \sqrt{J}$を導くことを示すため、新しい変数$y$を導入し、$k[x_1,\ldots,x_n,y]$の中で$J$と$1 - yf$から生成されるイデアルを考える。

この拡大されたイデアルは空の零点集合を持つ(共通零点があれば$J$のすべての生成元が消えねばならず、そこで$f$も消えることになり、$1-yf=0$に矛盾する)。先に示した弱形式により、この拡大イデアルは環全体でなければならず、したがって$1$は生成元の多項式結合として表せる。$y = 1/f$を代入し分母を払うと、ある冪$f^r$が$J$に属することを示す具体的な式が得られ、これはまさに$f \in \sqrt{J}$である。

通常の実平面では、根が複素数になったり交点が無限遠に逃げたりすると、二つの曲線は交わらないことがある。代数的閉体$k$上の射影空間$\mathbb{P}^2(k)$で考え、接点を自然な代数的重複度で数えると完全な一様性が回復し、交点の総数は次数$\deg(C_1)$と$\deg(C_2)$だけで決まる。

$C_1$と$C_2$を定める次数$d_1 = \deg(C_1)$と$d_2 = \deg(C_2)$の斉次多項式を$F(x,y,z)$と$G(x,y,z)$とする。点$[0:1:0]$がいずれの曲線上にもなく、またどの二つの交点も$[0:1:0]$を通る同じ$[x:z]$直線上にないように射影座標を選ぶ。

$F$と$G$を、$(x,z)$の斉次多項式を係数とする一変数$y$の多項式とみなす。それらのシルベスター終結式$R(x,z) = \operatorname{Res}_y(F, G)$は$(x,z)$の非零斉次多項式であり($F$と$G$が共通因子を持たないため非零)、シルベスター行列の斉次性を計算すると$R(x,z)$の次数はちょうど$d_1 d_2$になる。

代数的閉体$k$上では、次数$d_1 d_2$の二変数斉次多項式は重複度を込めて$d_1 d_2$個の一次形式に完全に分解する。各一次因子は$F$と$G$の共通零点を含む$[0:1:0]$を通る直線に対応し、その因子の重複度はその点での局所交点重複度$\dim_k \mathcal{O}_{P}(C_1 \cap C_2)$と一致するため、合計$\left| C_1 \cap C_2 \right| = \deg(C_1) \cdot \deg(C_2)$が得られる。