ヒルベルトの零点定理

まず弱形式を概説する。$J$が$k[x_1,\ldots,x_n]$の真のイデアルならば$V(J)$は空でない。$J$を含む極大イデアル$\mathfrak{m}$を選ぶと、商$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}$は体であり、有限生成な$k$代数である。ザリスキーの補題により、$k$のそのような体拡大は$k$の有限代数拡大である。$k$が代数的閉体であることから$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} = k$が強制される。この商写像による$x_1,\ldots,x_n$の像は、すべての$g \in J$に対して$g(a)=0$となる点$a \in k^n$を与え、$a \in V(J)$が従う。

強形式$I(V(J)) = \sqrt{J}$については、包含$\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$は自明である。$f^r \in J$ならば、$f$は$J$のすべての元が消える場所で消える。逆の包含にはラビノヴィッチのトリックを使う。$f \in I(V(J))$が$f \in \sqrt{J}$を導くことを示すため、新しい変数$y$を導入し、$k[x_1,\ldots,x_n,y]$の中で$J$と$1 - yf$から生成されるイデアルを考える。

この拡大されたイデアルは空の零点集合を持つ(共通零点があれば$J$のすべての生成元が消えねばならず、そこで$f$も消えることになり、$1-yf=0$に矛盾する)。先に示した弱形式により、この拡大イデアルは環全体でなければならず、したがって$1$は生成元の多項式結合として表せる。$y = 1/f$を代入し分母を払うと、ある冪$f^r$が$J$に属することを示す具体的な式が得られ、これはまさに$f \in \sqrt{J}$である。