ホップ・リノウの定理

(i) $\Rightarrow$ 最小測地線の存在:$p,q \in M$ を固定し $r = d(p,q)$ とする。小さな距離球面 $S_\varepsilon(p)$ はコンパクトなので、連続関数 $x \mapsto d(x,q)$ はその上のある点 $x_0 = \gamma(\varepsilon)$ で最小値を取る。ここで $\gamma$ は $p$ から $x_0$ を通る単位速度測地線である(測地的完備性によりすべての時間で定義される)。$d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon$ を示し、これを集合 $A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\}$ へ拡張する:$A$ は空でなく、連続性により閉である。$t_0<r$ を満たす任意の $t_0 \in A$ において $\gamma(t_0)$ で同じ最小球面の議論を繰り返すと、$A$ は $[0,r]$ において開でもあることが示され、よって $A=[0,r]$ かつ $\gamma(r)=q$ となる。

(i) $\Rightarrow$ (ii):$M$ 内のコーシー列 $(x_n)$ について、上の議論により十分近い任意の2点は、その間の距離に等しい長さを持つ最小測地線で結ばれることがわかる。ある固定点のまわりの閉距離球は、指数写像による $T_pM$ 内の閉球の連続な像であるからコンパクトであり、したがってコーシー列は最終的にあるコンパクト集合の中に入り、収束する。

(ii) $\Rightarrow$ (iii):距離空間としての完備性と局所コンパクト性(すべてのリーマン多様体は局所コンパクトである)を合わせると、閉球は全有界かつ完備であることになり、したがって距離空間におけるコンパクト性の標準的な特徴づけによりコンパクトである。一般の閉かつ有界な集合はある閉球の閉部分集合であるから、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクトである。

(iii) $\Rightarrow$ (i):単位速度測地線 $\gamma$ が極大区間 $[0,T)$($T<\infty$)でしか定義されていないと仮定する。$t \to T^-$ のとき $\gamma(t)$ は $\gamma(0)$ を中心とする半径 $T$ の閉球内にとどまり、これは (iii) によりコンパクトである。$t_n \to T$ となる列 $\gamma(t_n)$ は収束部分列を持ち、測地線の常微分方程式(滑らかな係数を持つ2階系)に対する標準的な存在理論により、解は $T$ を超えて滑らかに拡張されることが示され、$T$ の極大性に矛盾する。したがってすべての測地線は $\mathbb{R}$ 全体へ拡張される。