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リーマン幾何学 各点で長さと角度を測る方法を備えた空間上の微分幾何学で、一般相対性理論の言語となる。
直観 直感:まっすぐな定規のない幾何学 丘陵地帯に住むアリや、曲がった時空を航行するロケットを想像してほしい。どちらもまっすぐな定規や平らな方眼紙を持たないが、それでも自分が立っている場所では短い距離や小さな角度を測ることができる。リーマン幾何学は、空間の各点に滑らかに付随するこの局所的で無限小な定規だけから、長さ・角度・まっすぐさ・曲率についての理論全体を構築する。これは一般相対性理論——時空そのものが曲がっている——の背後にある数学の言語であり、ロボットアームから機械学習モデルに至るまで、自然な配置空間が平らではなく曲がっているあらゆる系の背後にある言語でもある。
鞍面 z = x 2 − y 2 z = x^2 - y^2 z = x 2 − y 2 大学 リーマン計量:各点で長さと角度を測る 定義: リーマン計量
滑らかな多様体 M M M g g g x 1 , … , x n x^1,\dots,x^n x 1 , … , x n g i j g_{ij} g ij d s 2 = g i j d x i d x j ds^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j
d s 2 = g i j d x i d x j ds^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j 曲線γ \gamma γ a a a b b b L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}\,dt L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t )) d t g g g g g g
L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}\,dt L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t )) d t 大学 レヴィ・チヴィタ接続と測地線 定義: レヴィ・チヴィタ接続
曲がった空間上の曲線に沿ってベクトル場を微分するには、近くの点における接ベクトルを比較する規則、すなわち接続∇ \nabla ∇ Γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j ) \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right) Γ ij k = 2 1 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g ij ) g k l g^{kl} g k l g k l g_{kl} g k l
Γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j ) \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right) Γ ij k = 2 1 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g ij ) 測地線とは、自分自身の速度を平行移動する曲線、すなわち計量に関して『できる限りまっすぐ』進む曲線であり、直線の自然な一般化であって、両端点間の長さを局所的に最小化する。座標で書くと、この条件は測地線方程式d 2 x k d t 2 + Γ i j k d x i d t d x j d t = 0 \dfrac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij}\dfrac{dx^i}{dt}\dfrac{dx^j}{dt} = 0 d t 2 d 2 x k + Γ ij k d t d x i d t d x j = 0
d 2 x k d t 2 + Γ i j k d x i d t d x j d t = 0 \frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt} = 0 d t 2 d 2 x k + Γ ij k d t d x i d t d x j = 0 発展 曲率:リーマン、リッチ、スカラー 定義: リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルR ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z X X X Y Y Y K ( X , Y ) = ⟨ R ( X , Y ) Y , X ⟩ ∣ X ∣ 2 ∣ Y ∣ 2 − ⟨ X , Y ⟩ 2 K(X,Y) = \dfrac{\langle R(X,Y)Y,X\rangle}{|X|^2|Y|^2 - \langle X,Y\rangle^2} K ( X , Y ) = ∣ X ∣ 2 ∣ Y ∣ 2 − ⟨ X , Y ⟩ 2 ⟨ R ( X , Y ) Y , X ⟩ X , Y X,Y X , Y
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z 定義: リッチ曲率とスカラー曲率
リッチ曲率R i c ( Y , Z ) = t r ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) = \mathrm{tr}\big(X \mapsto R(X,Y)Z\big) Ric ( Y , Z ) = tr ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) R = t r g ( R i c ) R = \mathrm{tr}_g(\mathrm{Ric}) R = tr g ( Ric )
R i c ( Y , Z ) = t r ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) , R = t r g ( R i c ) \mathrm{Ric}(Y,Z) = \mathrm{tr}\big(X \mapsto R(X,Y)Z\big), \qquad R = \mathrm{tr}_g(\mathrm{Ric}) Ric ( Y , Z ) = tr ( X ↦ R ( X , Y ) Z ) , R = tr g ( Ric ) 次元 n n n 曲率 対象の種類 何を測るか 断面曲率 K ( X , Y ) K(X,Y) K ( X , Y ) 各2次元平面に対する一つの数 その平面に接する2次元切片のガウス曲率 リッチ R i c ( Y , Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) Ric ( Y , Z ) 対称双線形形式 ある方向を通るすべての2次元平面にわたる平均断面曲率 スカラー R R R 各点における一つの数 あらゆる方向にわたる平均曲率、例えば一定曲率 k k k R = n ( n − 1 ) k R=n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k
発展 主要な定理:ホップ・リノウとマイヤーズ ( M , g ) (M,g) ( M , g ) M M M R \mathbb{R} R M M M g g g M M M M M M
なぜ正しいのか? 完備性は、局所的なもの(短い時間の間しか測地線を保証しない常微分方程式)と大域的なもの(通常の空間の閉じた有界な領域と同じように距離が振る舞い、手で描くであろう最短経路が実際に常に存在するような、性質の良い空間)とを結ぶ橋である。
証明 (i) ⇒ \Rightarrow ⇒ p , q ∈ M p,q \in M p , q ∈ M r = d ( p , q ) r = d(p,q) r = d ( p , q ) S ε ( p ) S_\varepsilon(p) S ε ( p ) x ↦ d ( x , q ) x \mapsto d(x,q) x ↦ d ( x , q ) x 0 = γ ( ε ) x_0 = \gamma(\varepsilon) x 0 = γ ( ε ) γ \gamma γ p p p x 0 x_0 x 0 d ( γ ( ε ) , q ) = r − ε d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon d ( γ ( ε ) , q ) = r − ε A = { t ∈ [ 0 , r ] : d ( γ ( t ) , q ) = r − t } A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\} A = { t ∈ [ 0 , r ] : d ( γ ( t ) , q ) = r − t } A A A t 0 < r t_0<r t 0 < r t 0 ∈ A t_0 \in A t 0 ∈ A γ ( t 0 ) \gamma(t_0) γ ( t 0 ) A A A [ 0 , r ] [0,r] [ 0 , r ] A = [ 0 , r ] A=[0,r] A = [ 0 , r ] γ ( r ) = q \gamma(r)=q γ ( r ) = q
(i) ⇒ \Rightarrow ⇒ M M M ( x n ) (x_n) ( x n ) T p M T_pM T p M
(ii) ⇒ \Rightarrow ⇒
(iii) ⇒ \Rightarrow ⇒ γ \gamma γ [ 0 , T ) [0,T) [ 0 , T ) T < ∞ T<\infty T < ∞ t → T − t \to T^- t → T − γ ( t ) \gamma(t) γ ( t ) γ ( 0 ) \gamma(0) γ ( 0 ) T T T t n → T t_n \to T t n → T γ ( t n ) \gamma(t_n) γ ( t n ) T T T T T T R \mathbb{R} R
( M n , g ) (M^n,g) ( M n , g ) k > 0 k>0 k > 0 R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g ( n − 1 ) k (n-1)k ( n − 1 ) k M M M d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π π 1 ( M ) \pi_1(M) π 1 ( M )
なぜ正しいのか? 正のリッチ曲率は、球面上と同様に測地線が平均として収束することを意味する。この収束がすべての方向で十分に強ければ、測地線は永久に距離を最小化し続けることはできない——いずれ共役点に達し、そこで近くの測地線に追いつかれてしまう。これが任意の2点間の距離の上限を定める。
証明 ホップ・リノウの定理により、M M M γ : [ 0 , L ] → M \gamma:[0,L]\to M γ : [ 0 , L ] → M L > π / k L > \pi/\sqrt{k} L > π / k
γ \gamma γ γ \gamma γ V V V I ( V , V ) ≥ 0 I(V,V) \geq 0 I ( V , V ) ≥ 0 I ( V , V ) = ∫ 0 L ( ∣ V ′ ∣ 2 − ⟨ R ( V , γ ′ ) γ ′ , V ⟩ ) d t I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt I ( V , V ) = ∫ 0 L ( ∣ V ′ ∣ 2 − ⟨ R ( V , γ ′ ) γ ′ , V ⟩ ) d t γ \gamma γ E 1 , … , E n − 1 E_1,\dots,E_{n-1} E 1 , … , E n − 1 γ ′ \gamma' γ ′ i = 1 , … , n − 1 i=1,\dots,n-1 i = 1 , … , n − 1 V i ( t ) = sin ( π t / L ) E i ( t ) V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t) V i ( t ) = sin ( π t / L ) E i ( t )
E i E_i E i V i ′ = π L cos ( π t / L ) E i V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i V i ′ = L π cos ( π t / L ) E i I ( V i , V i ) = ∫ 0 L [ ( π L ) 2 cos 2 ( π t / L ) − sin 2 ( π t / L ) ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ ] d t I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt I ( V i , V i ) = ∫ 0 L [ ( L π ) 2 cos 2 ( π t / L ) − sin 2 ( π t / L ) ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ ] d t i i i ∑ i ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ = R i c ( γ ′ , γ ′ ) ≥ ( n − 1 ) k \sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k ∑ i ⟨ R ( E i , γ ′ ) γ ′ , E i ⟩ = Ric ( γ ′ , γ ′ ) ≥ ( n − 1 ) k ∑ i I ( V i , V i ) ≤ ( n − 1 ) ∫ 0 L [ ( π L ) 2 cos 2 ( π t / L ) − k sin 2 ( π t / L ) ] d t \sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt ∑ i I ( V i , V i ) ≤ ( n − 1 ) ∫ 0 L [ ( L π ) 2 cos 2 ( π t / L ) − k sin 2 ( π t / L ) ] d t
∫ 0 L cos 2 ( π t / L ) d t = ∫ 0 L sin 2 ( π t / L ) d t = L / 2 \int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2 ∫ 0 L cos 2 ( π t / L ) d t = ∫ 0 L sin 2 ( π t / L ) d t = L /2 ( n − 1 ) ⋅ L 2 [ ( π L ) 2 − k ] (n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right] ( n − 1 ) ⋅ 2 L [ ( L π ) 2 − k ] L > π / k L > \pi/\sqrt{k} L > π / k I ( V i , V i ) < 0 I(V_i,V_i) < 0 I ( V i , V i ) < 0 γ \gamma γ L ≤ π / k L \leq \pi/\sqrt{k} L ≤ π / k d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π π 1 ( M ) \pi_1(M) π 1 ( M )
発展 実世界での応用と具体例 リーマン幾何学は一般相対性理論の言語である:アインシュタイン方程式は、時空のリッチ曲率(ローレンツ符号に合わせて調整されたもの)をその中の物質とエネルギーに関係づけ、自由落下する物体はこの曲がった計量の測地線に沿って運動する。ロボティクスや運動計画では、関節角度や形状の空間をリーマン多様体とみなし、障害物を避ける、あるいはエネルギーを最小化する測地線として運動を計画する。情報幾何学は統計モデルの空間にリーマン計量(フィッシャー情報計量)を置き、そこから得られる測地線は機械学習における自然勾配降下法のようなアルゴリズムで使われる最短の統計的経路を与える。コンピュータビジョンにおける形状解析は、物体の輪郭をリーマン多様体上の点とみなし、測地距離を用いて形状を比較する。
例: ポアンカレ上半平面の一定曲率
ポアンカレ上半平面モデルは、y > 0 y>0 y > 0 λ ( x , y ) = 1 / y \lambda(x,y) = 1/y λ ( x , y ) = 1/ y d s 2 = λ ( x , y ) 2 ( d x 2 + d y 2 ) ds^2 = \lambda(x,y)^2(dx^2+dy^2) d s 2 = λ ( x , y ) 2 ( d x 2 + d y 2 ) K = − 1 λ 2 Δ ( ln λ ) K = -\dfrac{1}{\lambda^2}\Delta(\ln\lambda) K = − λ 2 1 Δ ( ln λ ) K K K
解答 等角因子の対数を書く:λ ( x , y ) = 1 / y \lambda(x,y) = 1/y λ ( x , y ) = 1/ y ln λ = ln ( 1 / y ) = − ln y \ln\lambda = \ln(1/y) = -\ln y ln λ = ln ( 1/ y ) = − ln y y y y
y y y ∂ y ( − ln y ) = − 1 / y \partial_y(-\ln y) = -1/y ∂ y ( − ln y ) = − 1/ y ∂ y 2 ( − ln y ) = 1 / y 2 \partial_y^2(-\ln y) = 1/y^2 ∂ y 2 ( − ln y ) = 1/ y 2 ln λ \ln\lambda ln λ x x x Δ ( ln λ ) = ∂ x 2 ( ln λ ) + ∂ y 2 ( ln λ ) = 0 + 1 / y 2 = 1 / y 2 \Delta(\ln\lambda) = \partial_x^2(\ln\lambda) + \partial_y^2(\ln\lambda) = 0 + 1/y^2 = 1/y^2 Δ ( ln λ ) = ∂ x 2 ( ln λ ) + ∂ y 2 ( ln λ ) = 0 + 1/ y 2 = 1/ y 2
曲率の公式に代入する:K = − 1 λ 2 Δ ( ln λ ) K = -\dfrac{1}{\lambda^2}\Delta(\ln\lambda) K = − λ 2 1 Δ ( ln λ ) λ 2 = 1 / y 2 \lambda^2 = 1/y^2 λ 2 = 1/ y 2 K = − y 2 ⋅ 1 y 2 = − 1 K = -y^2 \cdot \dfrac{1}{y^2} = -1 K = − y 2 ⋅ y 2 1 = − 1
y y y K = − 1 K=-1 K = − 1
例: 球面のリッチ曲率とスカラー曲率、そしてマイヤーズの検証
断面曲率が一定 k k k R i j k l = k ( g i k g j l − g i l g j k ) R_{ijkl} = k(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) R ij k l = k ( g ik g j l − g i l g j k ) S 2 S^2 S 2
解答 半径 1 1 1 S 2 S^2 S 2 k = 1 k=1 k = 1 n = 2 n=2 n = 2 R i j k l = k ( g i k g j l − g i l g j k ) R_{ijkl} = k(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) R ij k l = k ( g ik g j l − g i l g j k )
一度縮約するとリッチテンソル R i c = ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} = (n-1)k\,g Ric = ( n − 1 ) k g n = 2 n=2 n = 2 k = 1 k=1 k = 1 R i c = ( 2 − 1 ) ⋅ 1 ⋅ g = g \mathrm{Ric} = (2-1)\cdot 1\cdot g = g Ric = ( 2 − 1 ) ⋅ 1 ⋅ g = g 1 1 1
さらに縮約するとスカラー曲率 R = n ( n − 1 ) k R = n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k n = 2 n=2 n = 2 k = 1 k=1 k = 1 R = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 R = 2\cdot 1\cdot 1 = 2 R = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2
k = 1 k=1 k = 1 R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g d i a m ( M ) ≤ π k \mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}} diam ( M ) ≤ k π d i a m ( S 2 ) ≤ π / 1 = π \mathrm{diam}(S^2) \leq \pi/\sqrt{1} = \pi diam ( S 2 ) ≤ π / 1 = π π \pi π
よくある誤り. リッチ曲率がいたるところ正であれば、すべての2次元平面において断面曲率も正になるはずだと考えたくなるが、リッチ曲率はあくまで平均にすぎない:ある点で R i c ( Y , Z ) \mathrm{Ric}(Y,Z) Ric ( Y , Z ) 歴史的ノート
1854年、ベルンハルト・リーマンはゲッティンゲンで教授資格講演『幾何学の基礎をなす仮説について』を行い、空間を固定されたユークリッドの公理ではなく、各接空間上で滑らかに変化する内積を通じて研究できると提案した——この一つの壮大な着想が分野全体を生み出し、60年後、アインシュタインに一般相対性理論に必要な数学をまさに提供することになった。
ベルンハルト・リーマン
研究の最前線 2026年時点
リーマン幾何学における近年最も影響力のある道具はリッチフローであり、1982年にリチャード・ハミルトンによって導入された。これは計量を ∂ t g i j = − 2 R i j \partial_t g_{ij} = -2R_{ij} ∂ t g ij = − 2 R ij
ある完備リーマン多様体が k = 4 k=4 k = 4 R i c ≥ ( n − 1 ) k g \mathrm{Ric} \geq (n-1)k\,g Ric ≥ ( n − 1 ) k g
π / 2 \pi/2 π /2 π / 4 \pi/4 π /4 2 π 2\pi 2 π 4 π 4\pi 4 π 統計モデルの空間にリーマン計量(フィッシャー情報計量)を置き、その測地線を自然勾配降下法のような最適化アルゴリズムで用いる応用数学の分野はどれか。
情報幾何学 線形計画法 組合せ論 数論
3次元空間が一定の断面曲率 k = 2 k=2 k = 2 R = n ( n − 1 ) k R = n(n-1)k R = n ( n − 1 ) k R R R
リーマン多様体上のあらゆる可能な接続の中で、レヴィ・チヴィタ接続 ∇ \nabla ∇
捩れがなく、計量と両立する 線形かつ連続 対称かつ可逆 正定かつ滑らか