マイヤーズの定理

ホップ・リノウの定理により、$M$ が完備であるから任意の2点は最小測地線で結ばれる。背理法のため、ある単位速度の最小測地線 $\gamma:[0,L]\to M$ の長さが $L > \pi/\sqrt{k}$ であると仮定する。

$\gamma$ は長さを最小化するので、両端点で消える $\gamma$ に沿った任意の区分的に滑らかなベクトル場 $V$ に対して第二変分(指数形式)が $I(V,V) \geq 0$ を満たす。ここで $I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt$ である。$\gamma$ に沿った平行正規直交枠 $E_1,\dots,E_{n-1}$($\gamma'$ と常に直交)を選び、$i=1,\dots,n-1$ に対して場 $V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t)$ でテストする。

$E_i$ は平行であるから $V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i$ であり、$I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt$ となる。$i$ について和を取り $\sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k$ を用いると $\sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt$ が得られる。

$\int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2$ であるから、右辺は $(n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right]$ に等しく、$L > \pi/\sqrt{k}$ のとき常に厳密に負である。よってある $I(V_i,V_i) < 0$ となり、$\gamma$ が長さを最小化することに矛盾する。したがってすべての最小測地線は $L \leq \pi/\sqrt{k}$ を満たし、$\mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}}$ が成り立つ。ホップ・リノウにより、有限直径を持つ完備多様体はコンパクトであり、同じ議論を(同じリッチ曲率の下限を受け継ぐ)普遍被覆に適用すればそれもコンパクトであることが示され、$\pi_1(M)$ は有限となる。