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定理証明済み

ガウス・ボンネの定理

内容

境界のないコンパクトで向き付け可能な曲面MMに対して∫MK dA=2πχ(M)\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)が成り立つ。ここでχ(M)\chi(M)はオイラー標数であり、MMの任意の三角形分割に対してχ(M)=V−E+F\chi(M) = V - E + Fである(種数 gg の曲面では2−2g2 - 2gにも等しい)。

なぜ正しいのか?

この定理は、純粋に局所的な幾何学量(点ごとに変化しうる曲率)と、純粋に大域的な位相不変量(曲面がどう繋がっているかだけに依存し、その形には依存しないオイラー標数)とを結びつける。曲面を破らずにどのように曲げ、伸ばし、へこませても、全曲率∫MK dA\int_M K\,dAは変わらない。

証明の概略

MM を測地三角形(辺が曲面上の最短経路である三角形)で三角形分割し、頂点 VV 個、辺 EE 本、面 FF 個を得る。これらは χ(M)=V−E+F\chi(M) = V - E + F で関係づけられる。

内角 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma を持つ一つの測地三角形 TT に対する局所ガウス・ボンネの公式は ∫TK dA=α+β+γ−π\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi である:角の和がユークリッド的な値 π\pi を超える分だけ、その三角形上での曲率の積分に正確に等しい。これは、三角形の境界に沿って平行移動された接ベクトルの回転にストークスの定理を適用することで得られる事実である。

∫TK dA=α+β+γ−π\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi をすべての FF 個の三角形について足し合わせると ∫MK dA=2πV−πF\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F となる:VV 個の各頂点に集まる三角形は、そこでちょうど一回転 2π2\pi を成すように組み合わさるので、それらの角の総和は 2πV2\pi V となり、一方 FF 個の三角形それぞれが −π-\pi を寄与する。

各三角形は 33 本の辺を持ち、各辺はちょうど 22 個の三角形に共有されるので 3F=2E3F = 2E である。E=3F2E = \frac{3F}{2} を χ(M)=V−E+F\chi(M) = V - E + F に代入すると 2πχ(M)=2πV−πF2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F となり、これは前段の結果と正確に一致する。したがって ∫MK dA=2πχ(M)\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M) となり、定理が証明された。

この定理を使うトピック

微分幾何学

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Manfredo P. do Carmo (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces
  2. Kristopher Tapp (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces