微分幾何学

これは驚くべきことである。なぜなら$K$はもともと第二基本形式、すなわち曲面が周囲の空間の中でどう曲がっているかを使って定義されていたからだ。ガウスの定理は、曲率が実は内在的な量であることを告げる:曲面に閉じ込められ周囲の空間を見ることのできない二次元の生物でも、長さと角度を測るだけで$K$を計算できるのである。

着目する点で $F=0$ となる座標系(局所的には必ず存在する直交パラメータ表示)で考える。恒等式 $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ と $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$ を微分し、$e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$、$g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ を用いることで、$eg-f^2$ を $\mathbf{n}$ に射影した2階導関数 $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ で表す。

$\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ は各点で空間の基底をなすので、$\mathbf{r}_{uu}$ のような任意の2階導関数は $\mathbf{r}_u$、$\mathbf{r}_v$、$\mathbf{n}$ の組み合わせとして書ける。その接ベクトル方向の係数がクリストッフェル記号であり、これは $E, F, G$ とその $u$、$v$ に関する導関数だけから作られる関数で、$E, F, G$ を微分して得られる線形方程式系を解くことで求まる。

これらの表現を $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$ に代入し、法線成分から得られる $eg-f^2$ と比較したうえで、両立条件(ガウスの方程式)を用いて整理すると、ブリオスキの公式が得られる:$K$ は $E, F, G$ とその $u$、$v$ に関する1階および2階偏導関数だけの有理関数として表され、最終的な式には $e, f, g$ は一切現れない。

二つの曲面の間の等長写像とは、定義により、一方の曲面の第一基本形式をもう一方の第一基本形式へ正確に写す写像(パラメータの関数として同じ $E, F, G$)である。そしてブリオスキの公式は $K$ を $E, F, G$ だけから計算するので、二つの曲面は対応する点で等しいガウス曲率をもたなければならない。これで定理が証明された。

この定理は、純粋に局所的な幾何学量(点ごとに変化しうる曲率)と、純粋に大域的な位相不変量(曲面がどう繋がっているかだけに依存し、その形には依存しないオイラー標数)とを結びつける。曲面を破らずにどのように曲げ、伸ばし、へこませても、全曲率$\int_M K\,dA$は変わらない。

$M$ を測地三角形(辺が曲面上の最短経路である三角形)で三角形分割し、頂点 $V$ 個、辺 $E$ 本、面 $F$ 個を得る。これらは $\chi(M) = V - E + F$ で関係づけられる。

内角 $\alpha,\beta,\gamma$ を持つ一つの測地三角形 $T$ に対する局所ガウス・ボンネの公式は $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ である:角の和がユークリッド的な値 $\pi$ を超える分だけ、その三角形上での曲率の積分に正確に等しい。これは、三角形の境界に沿って平行移動された接ベクトルの回転にストークスの定理を適用することで得られる事実である。

$\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ をすべての $F$ 個の三角形について足し合わせると $\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F$ となる:$V$ 個の各頂点に集まる三角形は、そこでちょうど一回転 $2\pi$ を成すように組み合わさるので、それらの角の総和は $2\pi V$ となり、一方 $F$ 個の三角形それぞれが $-\pi$ を寄与する。

各三角形は $3$ 本の辺を持ち、各辺はちょうど $2$ 個の三角形に共有されるので $3F = 2E$ である。$E = \frac{3F}{2}$ を $\chi(M) = V - E + F$ に代入すると $2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F$ となり、これは前段の結果と正確に一致する。したがって $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$ となり、定理が証明された。