Theorema Egregium(ガウスの驚異の定理)

着目する点で $F=0$ となる座標系(局所的には必ず存在する直交パラメータ表示)で考える。恒等式 $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ と $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$ を微分し、$e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$、$g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ を用いることで、$eg-f^2$ を $\mathbf{n}$ に射影した2階導関数 $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ で表す。

$\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ は各点で空間の基底をなすので、$\mathbf{r}_{uu}$ のような任意の2階導関数は $\mathbf{r}_u$、$\mathbf{r}_v$、$\mathbf{n}$ の組み合わせとして書ける。その接ベクトル方向の係数がクリストッフェル記号であり、これは $E, F, G$ とその $u$、$v$ に関する導関数だけから作られる関数で、$E, F, G$ を微分して得られる線形方程式系を解くことで求まる。

これらの表現を $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$ に代入し、法線成分から得られる $eg-f^2$ と比較したうえで、両立条件(ガウスの方程式)を用いて整理すると、ブリオスキの公式が得られる:$K$ は $E, F, G$ とその $u$、$v$ に関する1階および2階偏導関数だけの有理関数として表され、最終的な式には $e, f, g$ は一切現れない。

二つの曲面の間の等長写像とは、定義により、一方の曲面の第一基本形式をもう一方の第一基本形式へ正確に写す写像(パラメータの関数として同じ $E, F, G$)である。そしてブリオスキの公式は $K$ を $E, F, G$ だけから計算するので、二つの曲面は対応する点で等しいガウス曲率をもたなければならない。これで定理が証明された。